Periodizität von Sinus, Kosinus und Tangens

Oberstufe

\begin{gathered} \sin(x + 2k\pi) = \sin x, \quad \cos(x + 2k\pi) = \cos x \\ \tan(x + k\pi) = \tan x \end{gathered}

Voraussetzung: $k \in \mathbb{Z};$ $beim Tangens$ $x \neq \frac{\pi}{2} + m\pi,$ $m \in \mathbb{Z}$

$x$: Winkel im Bogenmaß
$k, m$: beliebige ganze Zahlen

Sinus und Kosinus wiederholen sich nach 2π (360°), der Tangens schon nach π (180°).

Graph von sin x über zwei Perioden von 0 bis 4π; nach 2π wiederholt sich der Verlauf

Erklärung

Eine Funktion heißt periodisch mit Periode $p$ , wenn sich ihre Werte nach $p$ wiederholen: $f(x + p) = f(x)$ für alle $x$ .

Sinus und Kosinus haben die Periode $2\pi$ (im Gradmaß $360^\circ$ ). Nach einer vollen Umdrehung am Einheitskreis landet man wieder beim selben Punkt.
Der Tangens hat die Periode $\pi$ ( $180^\circ$ ). Nach einer halben Umdrehung wechseln Sinus und Kosinus beide das Vorzeichen, ihr Quotient bleibt gleich.

Man kann beliebig viele volle Perioden addieren oder abziehen, deshalb steht in der Formel $k$ für jede ganze Zahl. Der Tangens ist an den Stellen $\frac{\pi}{2} + m\pi$ ( $90^\circ$ , $270^\circ$ , …) nicht definiert.

Damit lässt sich jeder Winkel auf einen Winkel zwischen $0^\circ$ und $360^\circ$ zurückführen.

Beispiele

\sin 390^\circ = \sin(30^\circ + 360^\circ) = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}

\cos(-300^\circ) = \cos(60^\circ - 360^\circ) = \cos 60^\circ = \frac{1}{2}

\tan 225^\circ = \tan(45^\circ + 180^\circ) = \tan 45^\circ = 1

Großer Winkel: $1110^\circ - 3 \cdot 360^\circ = 30^\circ$ , also $\sin 1110^\circ = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}$ .

Typische Fehler

Beim Tangens mit $2\pi$ statt $\pi$ rechnen. Das ist nicht falsch, verschenkt aber Lösungen: $\tan x = 1$ hat die Lösungen $x = \frac{\pi}{4} + k\pi$ , nicht nur $\frac{\pi}{4} + 2k\pi$ .
Die Periode des Tangens für $\frac{\pi}{2}$ halten. Es ist $\tan\left(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2}\right) = -1 \neq \tan \frac{\pi}{4} = 1$ .
Die Periode $360^\circ$ im Bogenmaß verwenden, also $\sin(x + 360)$ statt $\sin(x + 2\pi)$ schreiben.
Annehmen, $\sin(x + \pi) = \sin x$ . Nach einer halben Periode wechselt das Vorzeichen: $\sin(x + \pi) = -\sin x$ .

Periodizität von Sinus, Kosinus und Tangens