Dreifachwinkelformeln

Erklärung

Die Dreifachwinkelformeln drücken $\sin(3x)$ und $\cos(3x)$ allein durch $\sin x$ bzw. $\cos x$ aus. Sie gelten für alle reellen $x$. Für den Tangens gilt, sofern alle Terme definiert sind und $\tan^2 x \neq \frac{1}{3}$:

Anwendungen:

• Umrechnen von $\sin^3 x$ und $\cos^3 x$ in lineare Ausdrücke, etwa für Integrale: $\cos^3 x = \frac{1}{4}\left(\cos(3x) + 3\cos x\right)$.
• Die Formel für $\cos(3x)$ ist das Tschebyschow-Polynom $T_3(t) = 4t^3 - 3t$ an der Stelle $t = \cos x$.
• Die Dreiteilung eines Winkels führt auf eine kubische Gleichung. Daraus folgt, dass sie mit Zirkel und Lineal im Allgemeinen nicht möglich ist.

Herleitung

Mit dem Additionstheorem für $\sin(2x + x)$ und den Doppelwinkelformeln:

Mit $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ ergibt sich $3\sin x - 4\sin^3 x$. Für den Kosinus geht man analog vor. Alternativ vergleicht man Real- und Imaginärteil von $(\cos x + \mathrm{i} \sin x)^3 = \cos(3x) + \mathrm{i}\sin(3x)$ (Formel von Moivre).

Beispiele

Mit $x = 60^\circ$, also $\cos x = \frac{1}{2}$:

Wegen $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$ und $30^\circ = 3 \cdot 10^\circ$ gilt $3s - 4s^3 = \frac{1}{2}$ für $s = \sin 10^\circ$. Also ist $\sin 10^\circ$ eine Nullstelle von

Ist $\sin x = 0{,}6$, folgt $\sin(3x) = 1{,}8 - 4 \cdot 0{,}216 = 0{,}936$.

Typische Fehler

• $\sin(3x) = 3\sin x$ setzen. Der Sinus ist nicht linear.
• Die Vorzeichen vertauschen: Beim Sinus steht $-4\sin^3 x$, beim Kosinus $+4\cos^3 x$ und $-3\cos x$.
• Die Tangensformel an Stellen mit $\tan^2 x = \frac{1}{3}$ verwenden, etwa bei $x = 30^\circ$. Dort ist $\tan(3x)$ nicht definiert.