Potenzreduktion für Sinus und Kosinus

Oberstufe

\sin^2 x = \frac{1 - \cos(2x)}{2}, \quad \cos^2 x = \frac{1 + \cos(2x)}{2}

$x$: beliebige reelle Zahl (Winkel im Bogenmaß)

Die Quadrate von Sinus und Kosinus lassen sich linear durch den Kosinus des doppelten Winkels ausdrücken.

Erklärung

Die Formeln zur Potenzreduktion ersetzen die Quadrate $\sin^2 x$ und $\cos^2 x$ durch Ausdrücke, in denen nur noch $\cos(2x)$ in der ersten Potenz vorkommt. Aus einem quadratischen Term wird ein linearer Term mit doppelter Frequenz.

Anwendungen:

Integration: $\int \sin^2 x \,\mathrm{d}x$ und $\int \cos^2 x \,\mathrm{d}x$ lassen sich direkt berechnen.
Halbwinkelformeln: Mit $x = \frac{t}{2}$ folgt $\left|\sin \frac{t}{2}\right| = \sqrt{\frac{1 - \cos t}{2}}$ .
Höhere Potenzen: Durch wiederholtes Anwenden, z.B. $\cos^4 x = \frac{3 + 4\cos(2x) + \cos(4x)}{8}$ .
Physik und Signalverarbeitung: Mittelwert von $\sin^2$ über eine Periode ist $\frac{1}{2}$ (Effektivwerte).

Herleitung

Die Doppelwinkelformel des Kosinus hat zwei Darstellungen, die man mit $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ erhält:

\cos(2x) = 1 - 2\sin^2 x = 2\cos^2 x - 1

Nach $\sin^2 x$ bzw. $\cos^2 x$ aufgelöst ergeben sich die beiden Formeln.

Beispiele

Exakter Wert von $\sin \frac{\pi}{8}$ (also $\sin 22{,}5^\circ$ ) mit $\cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ :

\sin^2 \frac{\pi}{8} = \frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{2 - \sqrt{2}}{4} \quad\Rightarrow\quad \sin \frac{\pi}{8} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}

Die positive Wurzel ist richtig, weil $\frac{\pi}{8}$ im ersten Quadranten liegt.

Stammfunktion und Integral von $\sin^2 x$ :

\int \sin^2 x \,\mathrm{d}x = \int \frac{1 - \cos(2x)}{2} \,\mathrm{d}x = \frac{x}{2} - \frac{\sin(2x)}{4} + C

\int_0^{\pi} \sin^2 x \,\mathrm{d}x = \left(\frac{\pi}{2} - \frac{\sin(2\pi)}{4}\right) - 0 = \frac{\pi}{2}

Typische Fehler

Den Faktor $\frac{1}{2}$ vergessen: $\sin^2 x \neq 1 - \cos(2x)$ . Probe mit $x = \frac{\pi}{4}$ : $\sin^2 \frac{\pi}{4} = \frac{1}{2}$ , aber $1 - \cos \frac{\pi}{2} = 1$ .
Die Vorzeichen vertauschen. Merkhilfe: Bei $x = 0$ ist $\cos^2 0 = 1$ , also gehört dort das Plus hin.
$\sin^2 x$ mit $\sin(x^2)$ verwechseln. Die Formel gilt nur für $(\sin x)^2$ .
Beim Wurzelziehen für die Halbwinkelformel das Vorzeichen nicht am Quadranten festmachen.

Potenzreduktion für Sinus und Kosinus