Sinus und Kosinus am Einheitskreis

Mittelstufe

P = (\cos \alpha \mid \sin \alpha)

$P$: Punkt auf dem Einheitskreis (Kreis um den Ursprung mit Radius 1)
$\alpha$: Winkel zwischen der positiven x-Achse und der Strecke vom Ursprung zu P, gegen den Uhrzeigersinn gemessen

Am Einheitskreis ist der Kosinus eines Winkels die x-Koordinate und der Sinus die y-Koordinate des zugehörigen Punkts.

Punkt P auf dem Einheitskreis, cos α ist die x-Koordinate, sin α die y-Koordinate

Erklärung

Der Einheitskreis ist der Kreis um den Ursprung mit dem Radius $1$ . Man trägt den Winkel $\alpha$ an der positiven $x$ -Achse ab, gegen den Uhrzeigersinn. Der freie Schenkel schneidet den Kreis im Punkt $P$ . Dann gilt:

Die $x$ -Koordinate von $P$ ist $\cos \alpha$ .
Die $y$ -Koordinate von $P$ ist $\sin \alpha$ .

Für Winkel zwischen $0^\circ$ und $90^\circ$ stimmt das mit den Definitionen im rechtwinkligen Dreieck überein, denn die Hypotenuse ist $1$ . Der Einheitskreis erweitert Sinus und Kosinus aber auf alle Winkel, auch über $90^\circ$ und negative Winkel.

Daraus folgt:

$-1 \leq \sin \alpha \leq 1$ und $-1 \leq \cos \alpha \leq 1$
$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ , weil $P$ den Abstand $1$ vom Ursprung hat
Die Vorzeichen hängen vom Quadranten ab:

Quadrant	Winkel	$\sin \alpha$	$\cos \alpha$
I	$0^\circ$ bis $90^\circ$	$+$	$+$
II	$90^\circ$ bis $180^\circ$	$+$	$-$
III	$180^\circ$ bis $270^\circ$	$-$	$-$
IV	$270^\circ$ bis $360^\circ$	$-$	$+$

Bei einem Kreis mit Radius $r$ hat der Punkt die Koordinaten $(r \cos \alpha \mid r \sin \alpha)$ .

Beispiele

Für $\alpha = 150^\circ$ liegt $P$ im zweiten Quadranten. Der Punkt ist das Spiegelbild des Punkts bei $30^\circ$ an der $y$ -Achse:

P\left(-\frac{\sqrt{3}}{2} \;\middle|\; \frac{1}{2}\right), \quad\text{also}\quad \cos 150^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2},\quad \sin 150^\circ = \frac{1}{2}

Für $\alpha = 270^\circ$ zeigt der Schenkel senkrecht nach unten: $P(0 \mid -1)$ , also $\cos 270^\circ = 0$ und $\sin 270^\circ = -1$ .

Auf einem Kreis mit Radius $2$ liegt der Punkt zum Winkel $60^\circ$ bei:

\left(2 \cos 60^\circ \mid 2 \sin 60^\circ\right) = \left(1 \mid \sqrt{3}\right)

Typische Fehler

Sinus und Kosinus vertauschen. Merkhilfe: Kosinus gehört zur $x$ -Achse (waagerecht), Sinus zur $y$ -Achse (senkrecht).
Die Vorzeichen außerhalb des ersten Quadranten vergessen, z.B. $\cos 120^\circ$ positiv angeben. Richtig ist $\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}$ .
Den Winkel im Uhrzeigersinn abtragen. Positive Winkel laufen gegen den Uhrzeigersinn.
Den Taschenrechner im falschen Modus (Bogenmaß statt Gradmaß) verwenden.

Sinus und Kosinus am Einheitskreis