Umrechnung Gradmaß in Bogenmaß

Mittelstufe

x = \frac{\alpha}{180^\circ} \cdot \pi

$x$: Winkel im Bogenmaß (Einheit rad, oft ohne Einheit geschrieben)
$\alpha$: derselbe Winkel im Gradmaß
$\pi$: Kreiszahl, etwa 3,14159

Ein Winkel im Gradmaß wird ins Bogenmaß umgerechnet, indem man ihn durch 180° teilt und mit π multipliziert.

Einheitskreis mit dem Winkel α im Gradmaß; die Länge x des zugehörigen Bogens ist der Winkel im Bogenmaß

Erklärung

Winkel lassen sich in zwei Maßen angeben. Das Gradmaß teilt den Vollkreis in $360^\circ$ . Das Bogenmaß misst den Winkel durch die Länge des zugehörigen Bogens auf einem Kreis mit Radius $1$ (Einheitskreis). Da dieser Kreis den Umfang $2\pi$ hat, entsprechen $360^\circ$ genau $2\pi$ und $180^\circ$ genau $\pi$ .

Daraus ergeben sich beide Umrechnungen:

x = \frac{\alpha}{180^\circ} \cdot \pi \qquad \alpha = \frac{x}{\pi} \cdot 180^\circ

Das Bogenmaß braucht man vor allem bei Sinus- und Kosinusfunktionen und später in der Analysis. Die Einheit heißt Radiant (rad), wird aber meist weggelassen: $x$ ist eine reine Zahl ohne Einheit. In der Analysis (z.B. bei $\sin x$ ) ist ohne Gradzeichen meist das Bogenmaß gemeint.

Beispiele

30^\circ = \frac{30^\circ}{180^\circ} \cdot \pi = \frac{\pi}{6} \approx 0{,}524

90^\circ = \frac{\pi}{2} \qquad 360^\circ = 2\pi

Rückrechnung von $1$ und von $2{,}5$ ins Gradmaß:

1 = \frac{1}{\pi} \cdot 180^\circ \approx 57{,}30^\circ \qquad 2{,}5 = \frac{2{,}5}{\pi} \cdot 180^\circ \approx 143{,}24^\circ

Typische Fehler

Den Taschenrechner im falschen Modus benutzen: Im Bogenmaß (RAD) liefert $\sin 30 \approx -0{,}99$ , weil $30$ als $30$ rad gelesen wird. Für $\sin 30^\circ = 0{,}5$ muss der Rechner auf DEG stehen.
Den Bruch umdrehen und $\frac{180^\circ}{\alpha} \cdot \pi$ rechnen. Probe: $90^\circ$ muss $\frac{\pi}{2}$ ergeben, nicht $2\pi$ .
Bogenmaß und Gradmaß mischen, z.B. $\frac{\pi}{2} + 30^\circ$ . Vorher alles in dasselbe Maß umrechnen.

Umrechnung Gradmaß in Bogenmaß