Doppelwinkelformel für den Tangens

Doppelwinkelformel für den Tangens

Oberstufe

\tan(2x) = \frac{2 \tan x}{1 - \tan^2 x}

Voraussetzung: $x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi,$ $x \neq \frac{\pi}{4} + k \cdot \frac{\pi}{2},$ $k \in \mathbb{Z}$

$x$: Winkel, für den tan x und tan(2x) definiert sind
$k$: beliebige ganze Zahl

Der Tangens des doppelten Winkels lässt sich aus dem Tangens des einfachen Winkels berechnen.

Erklärung

Die Doppelwinkelformel drückt $\tan(2x)$ allein durch $\tan x$ aus. Sie ist der Sonderfall $y = x$ des Additionstheorems für den Tangens.

Sie gilt nur, wenn beide Seiten definiert sind:

$\tan x$ muss existieren, also $x \neq 90^\circ + k \cdot 180^\circ$ .
Der Nenner darf nicht $0$ sein, also $\tan x \neq \pm 1$ . Das schließt $x = 45^\circ + k \cdot 90^\circ$ aus; dort ist $2x$ eine Stelle wie $90^\circ$ , an der $\tan(2x)$ nicht existiert.

Herleitung

Im Additionstheorem $\tan(x + y) = \frac{\tan x + \tan y}{1 - \tan x \tan y}$ setzt man $y = x$ :

\tan(2x) = \frac{\tan x + \tan x}{1 - \tan x \cdot \tan x} = \frac{2 \tan x}{1 - \tan^2 x}

Beispiele

Für einen Winkel mit $\tan x = 0{,}5$ :

\tan(2x) = \frac{2 \cdot 0{,}5}{1 - 0{,}5^2} = \frac{1}{0{,}75} = \frac{4}{3}

Mit $x = 30^\circ$ und $\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}$ :

\tan 60^\circ = \frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{3}{2} = \sqrt{3}

Typische Fehler

$\tan(2x) = 2 \tan x$ annehmen. Bei $x = 30^\circ$ wäre das $\approx 1{,}155$ , richtig ist $\tan 60^\circ = \sqrt{3} \approx 1{,}732$ .
Im Nenner $1 + \tan^2 x$ schreiben. Bei der Summe steht im Nenner ein Minus.
$\tan^2 x$ als $\tan(x^2)$ lesen. Gemeint ist $(\tan x)^2$ .

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