Sinussatz

Erklärung

Der Sinussatz gilt in jedem Dreieck, nicht nur im rechtwinkligen. Er verbindet jede Seite mit dem gegenüberliegenden Winkel. Dafür braucht man die übliche Bezeichnung: Die Ecken heißen $A$, $B$, $C$, die Winkel dort $\alpha$, $\beta$, $\gamma$. Die Seite $a$ liegt der Ecke $A$ gegenüber, also auch dem Winkel $\alpha$; entsprechend $b$ und $\beta$, $c$ und $\gamma$.

Man verwendet immer nur zwei der drei Brüche, zum Beispiel:

Der Sinussatz hilft, wenn eine Seite und ihr gegenüberliegender Winkel bekannt sind, dazu eine weitere Seite oder ein weiterer Winkel. Den dritten Winkel liefert die Winkelsumme $\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$.

Beispiele

Gegeben sind $a = 5\,\text{cm}$, $\alpha = 40^\circ$ und $\beta = 60^\circ$. Gesucht sind $b$ und $c$:

Mit $\gamma = 180^\circ - 40^\circ - 60^\circ = 80^\circ$:

Gegeben sind $a = 8\,\text{cm}$, $b = 6\,\text{cm}$ und $\alpha = 70^\circ$. Gesucht ist $\beta$:

Da $b$ kürzer ist als $a$, muss $\beta$ kleiner sein als $\alpha$. Da $\beta < \alpha < 90^\circ$, ist $\beta$ spitz und die Lösung eindeutig. Es folgt $\gamma \approx 180^\circ - 70^\circ - 44{,}81^\circ = 65{,}19^\circ$.

Typische Fehler

• Seite und Winkel falsch zuordnen: Zu $a$ gehört der Winkel gegenüber von $a$, nicht ein Winkel, der an $a$ anliegt.
• Den zweiten möglichen Winkel übersehen. Aus $\sin \beta = 0{,}5$ folgt $\beta = 30^\circ$ oder $\beta = 150^\circ$. Liegt der gegebene Winkel der kürzeren der beiden gegebenen Seiten gegenüber, kann es zwei Dreiecke geben; dann beide Fälle prüfen.
• Den Sinussatz verwenden, obwohl kein Paar aus Seite und gegenüberliegendem Winkel bekannt ist (z.B. drei Seiten gegeben). Dann braucht man den Kosinussatz.