Produkte von Sinus und Kosinus in Summen umformen

Oberstufe

\sin x \cos y = \frac{1}{2}\left[\sin(x - y) + \sin(x + y)\right]

$x, y$: beliebige reelle Zahlen (Winkel im Bogenmaß oder Gradmaß)

Produkte aus Sinus- und Kosinuswerten lassen sich als halbe Summe oder Differenz von Sinus- bzw. Kosinuswerten schreiben.

Erklärung

Die Produktformeln sind die Umkehrung der Summenformeln: Sie verwandeln ein Produkt zweier Sinus- oder Kosinuswerte in eine Summe oder Differenz. Alle drei gelten für alle reellen $x$ und $y$ :

\sin x \cos y = \frac{1}{2}\left[\sin(x - y) + \sin(x + y)\right]

\cos x \cos y = \frac{1}{2}\left[\cos(x - y) + \cos(x + y)\right]

\sin x \sin y = \frac{1}{2}\left[\cos(x - y) - \cos(x + y)\right]

Der wichtigste Einsatz ist die Integration: Ein Produkt wie $\sin(3x)\cos x$ hat keine direkte Stammfunktion, eine Summe von Sinustermen schon. Auch bei Fourierreihen und in der Signalverarbeitung (Mischen zweier Frequenzen) braucht man diese Formeln.

Mit $y = x$ ergeben sich die Formeln zur Potenzreduktion, z.B. $\sin^2 x = \frac{1}{2}\left[1 - \cos(2x)\right]$ .

Herleitung

Man addiert oder subtrahiert zwei Additionstheoreme, sodass sich ein Teil weghebt. Zum Beispiel:

\cos(x - y) - \cos(x + y) = (\cos x \cos y + \sin x \sin y) - (\cos x \cos y - \sin x \sin y) = 2 \sin x \sin y

Teilen durch $2$ ergibt die dritte Formel. Die beiden anderen folgen genauso aus $\cos(x - y) + \cos(x + y)$ und $\sin(x - y) + \sin(x + y)$ .

Beispiele

\cos 75^\circ \cos 15^\circ = \frac{1}{2}\left[\cos 60^\circ + \cos 90^\circ\right] = \frac{1}{2}\left[\frac{1}{2} + 0\right] = \frac{1}{4}

\sin 75^\circ \sin 15^\circ = \frac{1}{2}\left[\cos 60^\circ - \cos 90^\circ\right] = \frac{1}{4}

Integral eines Produkts:

\int_0^{\pi/2} \sin(3x) \cos x \,\mathrm{d}x = \frac{1}{2} \int_0^{\pi/2} \left[\sin(2x) + \sin(4x)\right] \mathrm{d}x = \left[-\frac{\cos(2x)}{4} - \frac{\cos(4x)}{8}\right]_0^{\pi/2} = \frac{1}{8} - \left(-\frac{3}{8}\right) = \frac{1}{2}

Typische Fehler

Den Faktor $\frac{1}{2}$ vergessen.
Bei $\sin x \sin y$ die Reihenfolge vertauschen: Es ist $\cos(x - y) - \cos(x + y)$ , nicht umgekehrt. Probe mit $x = y = \frac{\pi}{2}$ : links $1$ , rechts $\frac{1}{2}[1 - (-1)] = 1$ .
Das Produkt der Funktionswerte mit dem Funktionswert des Produkts verwechseln: $\cos x \cos y \neq \cos(x y)$ . Für $x = y = 60^\circ$ ist $\cos 60^\circ \cos 60^\circ = \frac{1}{4}$ .

Produkte von Sinus und Kosinus in Summen umformen