Trigonometrischer Pythagoras

Mittelstufe

\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1

$\alpha$: beliebiger Winkel
$\sin^2 \alpha,\ \cos^2 \alpha$: Quadrate der Werte, also (sin α)² und (cos α)²

Für jeden Winkel ergibt das Quadrat des Sinus plus das Quadrat des Kosinus genau 1.

Rechtwinkliges Dreieck im Einheitskreis mit den Katheten cos α und sin α und der Hypotenuse 1

Erklärung

Für jeden Winkel $\alpha$ gilt: Sinus zum Quadrat plus Kosinus zum Quadrat ergibt $1$ . Die Schreibweise $\sin^2 \alpha$ bedeutet $(\sin \alpha)^2$ .

Damit kann man aus dem Sinus den Kosinus berechnen und umgekehrt, ohne den Winkel selbst zu kennen:

\cos \alpha = \sqrt{1 - \sin^2 \alpha} \qquad \sin \alpha = \sqrt{1 - \cos^2 \alpha}

Diese beiden Formeln mit der positiven Wurzel gelten für Winkel zwischen $0^\circ$ und $90^\circ$ . Bei größeren Winkeln können Sinus oder Kosinus negativ sein, dann muss man das Vorzeichen selbst bestimmen.

Herleitung

Im rechtwinkligen Dreieck mit den Katheten $a$ , $b$ und der Hypotenuse $c$ ist $\sin \alpha = \frac{a}{c}$ und $\cos \alpha = \frac{b}{c}$ . Mit dem Satz des Pythagoras $a^2 + b^2 = c^2$ folgt:

\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = \frac{a^2}{c^2} + \frac{b^2}{c^2} = \frac{a^2 + b^2}{c^2} = \frac{c^2}{c^2} = 1

Am Einheitskreis sieht man, dass die Formel für alle Winkel gilt: Der Punkt $(\cos \alpha \mid \sin \alpha)$ hat immer den Abstand $1$ vom Ursprung.

Beispiele

Für einen spitzen Winkel ist $\sin \alpha = 0{,}6$ . Dann gilt:

\cos \alpha = \sqrt{1 - 0{,}6^2} = \sqrt{1 - 0{,}36} = \sqrt{0{,}64} = 0{,}8

Für einen spitzen Winkel ist $\sin \alpha = \frac{1}{3}$ :

\cos \alpha = \sqrt{1 - \frac{1}{9}} = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3} \approx 0{,}943

Typische Fehler

$\sin^2 \alpha$ als $\sin(\alpha^2)$ lesen. Gemeint ist der quadrierte Sinuswert.
Die Wurzel falsch ziehen: $\sqrt{1 - \sin^2 \alpha}$ ist nicht $1 - \sin \alpha$ .
Bei stumpfen Winkeln das Vorzeichen vergessen: Für $90^\circ < \alpha < 180^\circ$ ist $\cos \alpha$ negativ, also $\cos \alpha = -\sqrt{1 - \sin^2 \alpha}$ .

Trigonometrischer Pythagoras