Halbwinkelformeln

Oberstufe

\sin\frac{x}{2} = \pm\sqrt{\frac{1 - \cos x}{2}}, \quad \cos\frac{x}{2} = \pm\sqrt{\frac{1 + \cos x}{2}}

Voraussetzung: $Vorzeichen nach dem Quadranten von$ $\tfrac{x}{2}$

$x$: beliebiger Winkel (im Gradmaß oder Bogenmaß)
$\tfrac{x}{2}$: der halbe Winkel, dessen Sinus oder Kosinus gesucht ist

Sinus und Kosinus des halben Winkels lassen sich aus dem Kosinus des ganzen Winkels berechnen.

Erklärung

Die Halbwinkelformeln berechnen $\sin\frac{x}{2}$ und $\cos\frac{x}{2}$ , wenn nur $\cos x$ bekannt ist. Damit erhält man z.B. exakte Werte für $15^\circ$ oder $22{,}5^\circ$ aus den bekannten Werten für $30^\circ$ und $45^\circ$ .

Die Wurzel liefert nur den Betrag. Das Vorzeichen richtet sich danach, in welchem Quadranten der halbe Winkel $\frac{x}{2}$ liegt: Der Sinus ist im 1. und 2. Quadranten positiv, der Kosinus im 1. und 4.

Für den Tangens gibt es Formen ohne Vorzeichenfrage:

\tan\frac{x}{2} = \frac{\sin x}{1 + \cos x} = \frac{1 - \cos x}{\sin x}

Die erste gilt für $\cos x \neq -1$ , die zweite für $\sin x \neq 0$ .

Herleitung

Aus der Doppelwinkelformel $\cos(2y) = 1 - 2\sin^2 y = 2\cos^2 y - 1$ folgt mit $y = \frac{x}{2}$ :

\sin^2\frac{x}{2} = \frac{1 - \cos x}{2}, \qquad \cos^2\frac{x}{2} = \frac{1 + \cos x}{2}

Wurzelziehen ergibt die Formeln, daher das $\pm$ .

Beispiele

$\sin 15^\circ$ aus $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ . Der Winkel $15^\circ$ liegt im 1. Quadranten, also positiv:

\sin 15^\circ = \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2} \approx 0{,}2588

$\cos 22{,}5^\circ$ aus $\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$ :

\cos 22{,}5^\circ = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \approx 0{,}9239

$\cos 150^\circ$ aus $\cos 300^\circ = \frac{1}{2}$ . Der Winkel $150^\circ$ liegt im 2. Quadranten, der Kosinus ist dort negativ:

\cos 150^\circ = -\sqrt{\frac{1 + \frac{1}{2}}{2}} = -\frac{\sqrt{3}}{2}

Typische Fehler

Das Vorzeichen nach dem Quadranten von $x$ statt von $\frac{x}{2}$ bestimmen.
$\sin\frac{x}{2} = \frac{1}{2}\sin x$ annehmen. Der Sinus ist nicht linear.
Die Formeln für Sinus und Kosinus vertauschen: Beim Sinus steht $1 - \cos x$ , beim Kosinus $1 + \cos x$ .

Halbwinkelformeln