Summen von Sinus und Kosinus in Produkte umformen

Oberstufe

\sin x + \sin y = 2 \sin\frac{x + y}{2} \cos\frac{x - y}{2}

$x, y$: beliebige reelle Zahlen (Winkel im Bogenmaß oder Gradmaß)

Summen und Differenzen von Sinus- oder Kosinuswerten lassen sich als Produkte mit halber Summe und halber Differenz schreiben.

Erklärung

Die Summenformeln (auch Summensätze) wandeln eine Summe oder Differenz zweier Sinus- oder Kosinuswerte in ein Produkt um. Im Produkt stehen die halbe Summe $\frac{x + y}{2}$ und die halbe Differenz $\frac{x - y}{2}$ der Argumente. Alle vier Formeln gelten für alle reellen $x$ und $y$ :

\sin x + \sin y = 2 \sin\frac{x + y}{2} \cos\frac{x - y}{2}

\sin x - \sin y = 2 \cos\frac{x + y}{2} \sin\frac{x - y}{2}

\cos x + \cos y = 2 \cos\frac{x + y}{2} \cos\frac{x - y}{2}

\cos x - \cos y = -2 \sin\frac{x + y}{2} \sin\frac{x - y}{2}

Anwendungen:

Gleichungen lösen: Eine Summe gleich null wird zu einem Produkt gleich null, dann hilft der Satz vom Nullprodukt.
Schwebung in der Physik: Die Überlagerung zweier Schwingungen mit ähnlicher Frequenz ist eine schnelle Schwingung, deren Amplitude langsam schwankt.
Ableitungen über den Differenzenquotienten, etwa $\sin(x + h) - \sin x$ .

Herleitung

Man setzt $u = \frac{x + y}{2}$ und $v = \frac{x - y}{2}$ , also $x = u + v$ und $y = u - v$ . Mit den Additionstheoremen heben sich die gemischten Terme weg:

\sin(u + v) + \sin(u - v) = 2 \sin u \cos v

Die anderen drei Formeln entstehen genauso aus $\sin(u + v) - \sin(u - v)$ , $\cos(u + v) + \cos(u - v)$ und $\cos(u + v) - \cos(u - v)$ .

Beispiele

\sin 75^\circ + \sin 15^\circ = 2 \sin 45^\circ \cos 30^\circ = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{2}

\cos 75^\circ - \cos 15^\circ = -2 \sin 45^\circ \sin 30^\circ = -2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = -\frac{\sqrt{2}}{2}

Die Gleichung $\sin(3x) + \sin x = 0$ wird zu

2 \sin(2x) \cos x = 0

Also ist $\sin(2x) = 0$ oder $\cos x = 0$ , d.h. $x = k \cdot \frac{\pi}{2}$ mit $k \in \mathbb{Z}$ . Probe für $x = \frac{\pi}{2}$ : $\sin \frac{3\pi}{2} + \sin \frac{\pi}{2} = -1 + 1 = 0$ .

Typische Fehler

Die Summe in das Argument ziehen: $\sin x + \sin y \neq \sin(x + y)$ . Mit $x = y = \frac{\pi}{2}$ ist links $2$ , rechts $\sin \pi = 0$ .
Das Minuszeichen bei $\cos x - \cos y$ vergessen. Nur diese Formel hat den Faktor $-2$ .
Die Halbierungen weglassen und $\sin(x + y) \cos(x - y)$ schreiben.

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