Arkusfunktionen

Oberstufe

\begin{aligned} \arcsin&\colon [-1, 1] \to \left[-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2}\right] \\ \arccos&\colon [-1, 1] \to [0, \pi] \\ \arctan&\colon \mathbb{R} \to \left(-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2}\right) \end{aligned}

$\arcsin x$: der Winkel zwischen −π/2 und π/2, dessen Sinus x ist
$\arccos x$: der Winkel zwischen 0 und π, dessen Kosinus x ist
$\arctan x$: der Winkel zwischen −π/2 und π/2 (ohne Ränder), dessen Tangens x ist
$x$: der gegebene Wert von Sinus, Kosinus oder Tangens

Die Arkusfunktionen kehren Sinus, Kosinus und Tangens auf einem festen Winkelbereich um und liefern so den Winkel.

Graphen von arcsin x (nur für −1 ≤ x ≤ 1) und arctan x, der sich den Geraden y = π/2 und y = −π/2 nähert

Erklärung

Sinus, Kosinus und Tangens ordnen einem Winkel einen Wert zu. Die Arkusfunktionen gehen den umgekehrten Weg: Sie liefern zu einem Wert den Winkel. Auf dem Taschenrechner heißen sie $\sin^{-1}$ , $\cos^{-1}$ und $\tan^{-1}$ .

Weil die trigonometrischen Funktionen periodisch sind, gehören zu einem Wert unendlich viele Winkel. Die Arkusfunktionen geben jeweils nur einen davon zurück, den sogenannten Hauptwert aus einem festen Bereich:

y = \arcsin x \iff \sin y = x \ \text{ und } \ -\tfrac{\pi}{2} \le y \le \tfrac{\pi}{2}

Für $\arccos$ liegt $y$ zwischen $0$ und $\pi$ , für $\arctan$ echt zwischen $-\frac{\pi}{2}$ und $\frac{\pi}{2}$ . Arkussinus und Arkuskosinus sind nur für $-1 \le x \le 1$ definiert, der Arkustangens für alle reellen Zahlen.

Weitere Lösungen einer Gleichung findet man mit Symmetrie und Periode: $\sin x = c$ hat in $[0, 2\pi)$ meist die beiden Lösungen $\arcsin c$ und $\pi - \arcsin c$ (bei negativem $c$ ist $\arcsin c$ negativ und wird durch $\arcsin c + 2\pi$ ersetzt).

Nützlich ist außerdem $\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}$ .

Beispiele

\arcsin 0{,}5 = \frac{\pi}{6} = 30^\circ, \qquad \arccos(-0{,}5) = \frac{2\pi}{3} = 120^\circ, \qquad \arctan 1 = \frac{\pi}{4} = 45^\circ

Gesucht sind alle $x \in [0, 2\pi)$ mit $\sin x = 0{,}6$ :

x_1 = \arcsin 0{,}6 \approx 0{,}6435, \qquad x_2 = \pi - x_1 \approx 2{,}4981

Typische Fehler

$\sin^{-1} x$ als $\frac{1}{\sin x}$ lesen. Gemeint ist die Umkehrfunktion, nicht der Kehrwert.
Nur den Wert des Taschenrechners angeben und die zweite Lösung $\pi - x_1$ vergessen.
Grad- und Bogenmaß mischen: Je nach Modus liefert der Rechner $30$ oder $0{,}5236$ für $\arcsin 0{,}5$ .
$\arcsin 2$ ausrechnen wollen. Der Sinus wird nie größer als $1$ .

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