Symmetrie von Sinus und Kosinus

Oberstufe

\sin(-x) = -\sin x, \quad \cos(-x) = \cos x

$x$: beliebiger Winkel (im Gradmaß oder Bogenmaß)

Der Sinus ist punktsymmetrisch zum Ursprung, der Kosinus achsensymmetrisch zur y-Achse.

Graphen von sin x (punktsymmetrisch zum Ursprung) und cos x (achsensymmetrisch zur y-Achse) mit je einem Punktpaar bei x = 2 und x = −2

Erklärung

Ersetzt man den Winkel $x$ durch $-x$ , ändert sich beim Sinus nur das Vorzeichen, der Kosinus bleibt gleich:

$\sin(-x) = -\sin x$ : Der Graph des Sinus ist punktsymmetrisch zum Ursprung, der Sinus ist eine ungerade Funktion.
$\cos(-x) = \cos x$ : Der Graph des Kosinus ist achsensymmetrisch zur $y$ -Achse, der Kosinus ist eine gerade Funktion.

Daraus folgt für den Tangens $\tan(-x) = \frac{-\sin x}{\cos x} = -\tan x$ , auch er ist punktsymmetrisch.

Am Einheitskreis sieht man den Grund: Der Winkel $-x$ wird im Uhrzeigersinn abgetragen. Sein Punkt ist das Spiegelbild des Punkts zu $x$ an der $x$ -Achse. Die $x$ -Koordinate (Kosinus) bleibt, die $y$ -Koordinate (Sinus) wechselt das Vorzeichen.

Spiegelt man stattdessen an der $y$ -Achse, erhält man eine weitere nützliche Symmetrie: $\sin(180^\circ - x) = \sin x$ und $\cos(180^\circ - x) = -\cos x$ .

Beispiele

\sin(-30^\circ) = -\sin 30^\circ = -\frac{1}{2}

\cos(-60^\circ) = \cos 60^\circ = \frac{1}{2}

Termvereinfachung mit beiden Regeln:

\sin^2(-x) + \cos(-x) \cos x = (-\sin x)^2 + \cos x \cos x = \sin^2 x + \cos^2 x = 1

Typische Fehler

Die Regeln vertauschen und $\cos(-x) = -\cos x$ schreiben. Dann wäre $\cos(-60^\circ) = -\frac{1}{2}$ , richtig ist $\frac{1}{2}$ .
Das Minus beim Quadrieren mitnehmen: $\sin^2(-x) = (-\sin x)^2 = \sin^2 x$ , nicht $-\sin^2 x$ .
Beim Lösen von Gleichungen die gespiegelte Lösung vergessen. Aus $\cos x = \frac{1}{2}$ folgt nicht nur $x = 60^\circ$ , sondern wegen der Symmetrie auch $x = -60^\circ$ , also $300^\circ$ im Bereich von $0^\circ$ bis $360^\circ$ .

Symmetrie von Sinus und Kosinus