Additionstheorem für den Tangens

Oberstufe

\tan(x \pm y) = \frac{\tan x \pm \tan y}{1 \mp \tan x \tan y}

Voraussetzung: $\tan x, \tan y$ $und$ $\tan(x \pm y)$ $definiert, d.h.$ $\cos x \neq 0,$ $\cos y \neq 0,$ $\cos(x \pm y) \neq 0$

$x, y$: Winkel, für die alle vorkommenden Tangenswerte definiert sind

Der Tangens einer Winkelsumme oder -differenz lässt sich allein aus den Tangenswerten der einzelnen Winkel berechnen.

Erklärung

Das Additionstheorem für den Tangens berechnet $\tan(x + y)$ und $\tan(x - y)$ nur aus $\tan x$ und $\tan y$ . Sinus- und Kosinuswerte braucht man dafür nicht.

Bei den Vorzeichen gilt: Das obere Zeichen gehört zur Summe, das untere zur Differenz. Im Nenner steht jeweils das umgekehrte Zeichen:

\tan(x + y) = \frac{\tan x + \tan y}{1 - \tan x \tan y} \qquad \tan(x - y) = \frac{\tan x - \tan y}{1 + \tan x \tan y}

Alle drei Tangenswerte müssen existieren. Ist der Nenner $0$ , also $\tan x \tan y = 1$ bei der Summe, dann ist $x + y$ eine Stelle wie $90^\circ$ , an der $\tan(x + y)$ nicht definiert ist.

Herleitung

Man teilt das Additionstheorem des Sinus durch das des Kosinus und kürzt dann Zähler und Nenner durch $\cos x \cos y$ :

\tan(x + y) = \frac{\sin x \cos y + \cos x \sin y}{\cos x \cos y - \sin x \sin y} = \frac{\tan x + \tan y}{1 - \tan x \tan y}

Die Differenz folgt mit $\tan(-y) = -\tan y$ .

Beispiele

Exakter Wert von $\tan 75^\circ$ mit $\tan 45^\circ = 1$ und $\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}$ :

\tan 75^\circ = \frac{1 + \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 - \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1} = 2 + \sqrt{3}

Entsprechend ergibt sich $\tan 15^\circ = \tan(45^\circ - 30^\circ) = 2 - \sqrt{3}$ .

Für zwei Winkel gilt $\tan x = 2$ und $\tan y = 3$ :

\tan(x + y) = \frac{2 + 3}{1 - 2 \cdot 3} = \frac{5}{-5} = -1

Typische Fehler

Den Tangens auf die Summe verteilen: $\tan(x + y) \neq \tan x + \tan y$ . Beispiel: $\tan(20^\circ + 25^\circ) = \tan 45^\circ = 1$ , aber $\tan 20^\circ + \tan 25^\circ \approx 0{,}830$ .
Im Nenner dasselbe Vorzeichen wie im Zähler schreiben. Bei der Summe steht unten ein Minus.
Die Formel anwenden, obwohl einer der Winkel $90^\circ$ (plus Vielfache von $180^\circ$ ) ist. Dort existiert $\tan x$ nicht; dann besser über Sinus und Kosinus rechnen.

Additionstheorem für den Tangens