Folgen & Reihen

Arithmetische Folge

Oberstufe

a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d

Voraussetzung: $n \in \mathbb{N},$ $n \geq 1$

$a_n$: n-tes Glied der Folge
$a_1$: erstes Glied der Folge
$n$: Nummer (Index) des gesuchten Glieds
$d$: konstante Differenz zwischen zwei aufeinanderfolgenden Gliedern

In einer arithmetischen Folge wächst jedes Glied um dieselbe Differenz d, das n-te Glied ist a₁ + (n − 1) · d.

Binomische Reihe

Studium

(1 + x)^{\alpha} = \sum_{k=0}^{\infty} \binom{\alpha}{k} x^k \quad\text{mit}\quad \binom{\alpha}{k} = \frac{\alpha(\alpha - 1)\cdots(\alpha - k + 1)}{k!}

Voraussetzung: $\alpha \in \mathbb{R},$ $|x| < 1$

$x$: reelle Zahl mit |x| < 1
$\alpha$: beliebiger reeller Exponent
$k$: Summationsindex
$\binom{\alpha}{k}$: verallgemeinerter Binomialkoeffizient, Produkt aus k Faktoren durch k!

Für |x| < 1 und beliebiges reelles α ist (1 + x)^α eine Potenzreihe mit verallgemeinerten Binomialkoeffizienten.

Cauchy-Produkt

Studium

\left( \sum_{n=0}^{\infty} a_n \right) \cdot \left( \sum_{n=0}^{\infty} b_n \right) = \sum_{n=0}^{\infty} c_n \quad\text{mit}\quad c_n = \sum_{k=0}^{n} a_k\, b_{n-k}

Voraussetzung: $\sum a_n$ $und$ $\sum b_n$ $konvergent, mindestens eine davon absolut konvergent$

$a_n, b_n$: Glieder der beiden Reihen, Index ab 0
$c_n$: Glieder der Produktreihe
$k$: Laufindex innerhalb von cₙ
$n$: Index der Reihenglieder

Das Produkt zweier absolut konvergenter Reihen ist die Reihe mit den Gliedern cₙ = a₀bₙ + a₁bₙ₋₁ + … + aₙb₀.

Endliche geometrische Reihe

Oberstufe

s_n = a_1 + a_1 q + \ldots + a_1 q^{n-1} = a_1 \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1}

Voraussetzung: $q \neq 1,$ $n \in \mathbb{N},$ $n \geq 1$

$s_n$: Summe der ersten n Glieder
$a_1$: erstes Glied
$q$: konstanter Quotient der Folge
$n$: Anzahl der addierten Glieder

Die Summe der ersten n Glieder einer geometrischen Folge ist a₁ · (qⁿ − 1) / (q − 1), sofern q ≠ 1.

Eulersche Zahl als Grenzwert

Oberstufe

e = \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n \approx 2{,}71828

$e$: Eulersche Zahl, Basis der natürlichen Exponentialfunktion
$n$: natürliche Zahl, die gegen unendlich geht

Die Eulersche Zahl e ≈ 2,71828 ist der Grenzwert der Folge (1 + 1/n)ⁿ für n gegen unendlich.

Exponentialreihe

Studium

e^x = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \ldots

Voraussetzung: $x \in \mathbb{R}\ (\text{auch } x \in \mathbb{C})$

$e^x$: Wert der Exponentialfunktion an der Stelle x
$x$: beliebige reelle (oder komplexe) Zahl
$k$: Summationsindex
$k!$: Fakultät von k, mit 0! = 1

Die Exponentialfunktion ist für alle x die Summe der Potenzreihe 1 + x + x²/2! + x³/3! + …

Fourierkoeffizienten

Studium

a_n = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(x) \cos(n \omega x)\,dx,\qquad b_n = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(x) \sin(n \omega x)\,dx

Voraussetzung: $f\ T$ $-periodisch$ $und über eine Periode$ $integrierbar$ $,$ $\omega = \tfrac{2\pi}{T},$ $n \geq 0$ $für$ $a_n,$ $n \geq 1$ $für$ $b_n$

$a_n$: Kosinuskoeffizienten (a₀/2 ist der Mittelwert von f)
$b_n$: Sinuskoeffizienten
$f$: periodische Funktion
$T$: Periode von f
$\omega$: Grundkreisfrequenz 2π/T
$n$: Nummer der Oberschwingung
$x$: Integrationsvariable

Die Fourierkoeffizienten aₙ und bₙ entstehen durch Integration von f mal cos(nωx) bzw. sin(nωx) über eine Periode.

Fourierreihe

Studium

f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \bigl( a_n \cos(n \omega x) + b_n \sin(n \omega x) \bigr)

Voraussetzung: $f\ T$ $-periodisch,$ $stückweise$ $C^1,$ $\omega = \tfrac{2\pi}{T}$

$f$: periodische Funktion
$T$: Periode von f
$\omega$: Grundkreisfrequenz 2π/T
$a_0, a_n, b_n$: Fourierkoeffizienten
$n$: Nummer der Oberschwingung
$x$: reelle Variable, oft die Zeit

Eine periodische Funktion lässt sich als Summe aus einer Konstanten und Sinus- und Kosinusschwingungen mit Vielfachen der Grundfrequenz schreiben.

Gaußsche Summenformel

Mittelstufe

1 + 2 + 3 + \ldots + n = \frac{n \cdot (n + 1)}{2}

Voraussetzung: $n \in \mathbb{N},$ $n \geq 1$

$n$: letzte (größte) Zahl, bis zu der addiert wird

Die Summe aller natürlichen Zahlen von 1 bis n ist n · (n + 1) / 2.

Geometrische Folge

Oberstufe

a_n = a_1 \cdot q^{n - 1}

Voraussetzung: $a_1 \neq 0,$ $q \neq 0,$ $n \in \mathbb{N},$ $n \geq 1$

$a_n$: n-tes Glied der Folge
$a_1$: erstes Glied der Folge
$q$: konstanter Quotient zweier aufeinanderfolgender Glieder
$n$: Nummer (Index) des gesuchten Glieds

In einer geometrischen Folge entsteht jedes Glied durch Multiplikation mit demselben Faktor q, also a₁ · qⁿ⁻¹.

Harmonische Reihe

Studium

\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \ldots = \infty

$k$: Summationsindex, durchläuft die natürlichen Zahlen ab 1

Die harmonische Reihe 1 + 1/2 + 1/3 + … divergiert, obwohl ihre Glieder gegen 0 gehen.

Integralkriterium

Studium

\sum_{n=1}^{\infty} f(n) \text{ konvergiert} \;\Leftrightarrow\; \int_{1}^{\infty} f(x)\,dx \text{ konvergiert}

Voraussetzung: $f: [1, \infty) \to \mathbb{R}$ $stetig, nichtnegativ und monoton fallend$

$f$: stetige, nichtnegative, monoton fallende Funktion mit f(n) als Reihengliedern
$n$: Index der Reihenglieder
$x$: Integrationsvariable

Bei positiven, monoton fallenden Gliedern f(n) konvergiert die Reihe genau dann, wenn das uneigentliche Integral von f konvergiert.

Konvergenz der Reihe 1/nᵖ

Studium

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p} \text{ konvergiert} \;\Leftrightarrow\; p > 1

Voraussetzung: $p \in \mathbb{R}$

$n$: Index der Reihenglieder
$p$: reeller Exponent

Die Reihe über 1/nᵖ konvergiert genau für p > 1; für p ≤ 1 divergiert sie, wie die harmonische Reihe.

Konvergenzradius einer Potenzreihe

Studium

r = \frac{1}{\limsup\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}} \quad\text{bzw.}\quad r = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right|

Voraussetzung: $Potenzreihe$ $\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x - x_0)^n;$ $zweite Form nur, wenn$ $a_n \neq 0$ $und der Grenzwert$ $existiert$ $;$ $\tfrac{1}{0} := \infty,$ $\tfrac{1}{\infty} := 0$

$r$: Konvergenzradius (auch 0 oder ∞ möglich)
$a_n$: Koeffizienten der Potenzreihe
$x_0$: Entwicklungspunkt
$x$: Stelle, an der die Reihe ausgewertet wird
$n$: Index der Koeffizienten

Eine Potenzreihe konvergiert absolut für |x − x₀| < r und divergiert für |x − x₀| > r; r folgt aus den Koeffizienten.

Leibniz-Kriterium

Studium

\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} a_n \text{ konvergiert}, \quad |s - s_n| \leq a_{n+1}

Voraussetzung: $(a_n)$ $monoton$ $fallend$ $,$ $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$

$a_n$: Betrag des n-ten Glieds, nicht negativ
$(-1)^{n+1}$: Vorzeichenwechsel, beginnend mit plus
$s$: Wert (Grenzwert) der Reihe
$s_n$: n-te Partialsumme
$n$: Index der Glieder

Eine alternierende Reihe, deren Gliedbeträge monoton gegen 0 fallen, konvergiert; der Fehler ist höchstens das nächste Glied.

Majoranten- und Minorantenkriterium

Studium

|a_n| \leq b_n \text{ und } \sum b_n \text{ konvergent} \;\Rightarrow\; \sum a_n \text{ absolut konvergent}

Voraussetzung: $Ungleichung für alle$ $n \geq N$ $(ab einem festen Index)$

$a_n$: Glieder der untersuchten Reihe
$b_n$: Glieder der Vergleichsreihe (Majorante)
$N$: Index, ab dem die Abschätzung gilt

Lässt sich eine Reihe gliedweise durch eine konvergente Reihe abschätzen, konvergiert sie; liegt eine divergente darunter, divergiert sie.

Monotoniekriterium für Folgen

Studium

(a_n) \text{ monoton wachsend und nach oben beschränkt} \;\Rightarrow\; \lim_{n \to \infty} a_n = \sup_{n \in \mathbb{N}} a_n

Voraussetzung: $(a_n)$ $reelle Folge$

$a_n$: Glieder der Folge
$\sup a_n$: Supremum, die kleinste obere Schranke der Folgenglieder
$n$: Index der Folgenglieder

Jede monoton wachsende, nach oben beschränkte Folge konvergiert gegen ihr Supremum; ebenso fallend und nach unten beschränkt.

Potenzreihe des Kosinus

Studium

\cos x = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots

Voraussetzung: $x \in \mathbb{R}$ $im Bogenmaß$

$x$: reelle Zahl, Winkel im Bogenmaß
$n$: Summationsindex

Der Kosinus ist die alternierende Reihe der geraden Potenzen xⁿ geteilt durch n!; sie konvergiert für jedes reelle x.

Potenzreihe des Sinus

Studium

\sin x = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots

Voraussetzung: $x \in \mathbb{R}$ $im Bogenmaß$

$x$: reelle Zahl, Winkel im Bogenmaß
$n$: Summationsindex

Der Sinus ist die alternierende Reihe der ungeraden Potenzen xⁿ geteilt durch n!; sie konvergiert für jedes reelle x.

Potenzreihe von ln(1 + x)

Studium

\ln(1 + x) = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{x^n}{n} = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots

Voraussetzung: $-1 < x \leq 1$

$x$: reelle Zahl im Konvergenzbereich
$n$: Summationsindex

Für −1 < x ≤ 1 ist ln(1 + x) die alternierende Reihe x − x²/2 + x³/3 − …; bei x = 1 ergibt sich ln 2.

Quotientenkriterium

Studium

L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| < 1 \;\Rightarrow\; \sum_{n=1}^{\infty} a_n \text{ konvergiert absolut}

Voraussetzung: $a_n \neq 0$ $für alle hinreichend großen$ $n,$ $der Grenzwert$ $L$ $existiert$

$a_n$: n-tes Glied der Reihe
$L$: Grenzwert der Beträge aufeinanderfolgender Quotienten
$n$: Index der Glieder

Ist der Grenzwert von |aₙ₊₁ / aₙ| kleiner als 1, konvergiert die Reihe absolut; ist er größer als 1, divergiert sie.

Summe der Kubikzahlen

Oberstufe

\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left( \frac{n(n + 1)}{2} \right)^2

Voraussetzung: $n \in \mathbb{N},$ $n \geq 1$

$n$: Anzahl der Summanden, letzte Zahl, die hoch drei genommen wird
$k$: Summationsindex, läuft von 1 bis n

Die Summe der Kubikzahlen 1³ + 2³ + … + n³ ist das Quadrat der Summe 1 + 2 + … + n.

Summe der Quadratzahlen

Oberstufe

\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}

Voraussetzung: $n \in \mathbb{N},$ $n \geq 1$

$n$: Anzahl der Summanden, letzte quadrierte Zahl
$k$: Summationsindex, läuft von 1 bis n

Die Summe der Quadratzahlen 1² + 2² + … + n² ist n(n + 1)(2n + 1) / 6.

Summe der reziproken Quadratzahlen

Studium

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{16} + \dots = \frac{\pi^2}{6}

$n$: Index der Reihenglieder, natürliche Zahl ab 1
$\pi$: Kreiszahl, etwa 3,14159

Die Summe der Kehrwerte aller Quadratzahlen ist π²/6, etwa 1,6449 (Basler Problem, gelöst von Euler).

Summe einer arithmetischen Folge

Oberstufe

s_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n) = n \cdot a_1 + \frac{n(n - 1)}{2} \cdot d

Voraussetzung: $n \in \mathbb{N},$ $n \geq 1$

$s_n$: Summe der ersten n Glieder (Partialsumme)
$n$: Anzahl der addierten Glieder
$a_1$: erstes Glied
$a_n$: letztes addiertes Glied, a₁ + (n − 1) · d
$d$: konstante Differenz der Folge

Die Summe der ersten n Glieder einer arithmetischen Folge ist n mal der Mittelwert von erstem und letztem Glied.

Taylorreihe

Studium

f(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} \, (x - x_0)^k

Voraussetzung: ${f \in C^\infty}$ $um$ $x_0,$ ${R_n(x) \to 0}$

$f$: Funktion, die entwickelt wird
$x_0$: Entwicklungspunkt
$x$: Stelle, an der die Funktion angenähert wird
$f^{(k)}(x_0)$: k-te Ableitung von f an der Stelle x₀ (f⁽⁰⁾ = f)
$k!$: Fakultät von k

Die Taylorreihe stellt eine Funktion um einen Punkt x₀ als Potenzreihe aus ihren Ableitungen in x₀ dar.

Unendliche geometrische Reihe

Oberstufe

\sum_{k=0}^{\infty} a_1 q^k = a_1 + a_1 q + a_1 q^2 + \ldots = \frac{a_1}{1 - q}

Voraussetzung: $|q| < 1$

$a_1$: erstes Glied der Reihe
$q$: konstanter Quotient, Betrag kleiner als 1
$k$: Summationsindex

Für |q| < 1 hat die unendliche geometrische Reihe a₁ + a₁q + a₁q² + … den endlichen Wert a₁ / (1 − q).

Wurzelkriterium

Studium

L = \limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} < 1 \;\Rightarrow\; \sum_{n=1}^{\infty} a_n \text{ konvergiert absolut}

$a_n$: n-tes Glied der Reihe
$L$: Limes superior der n-ten Wurzeln aus den Beträgen
$n$: Index der Glieder

Ist der Limes superior von ⁿ√|aₙ| kleiner als 1, konvergiert die Reihe absolut; ist er größer als 1, divergiert sie.