Eulersche Zahl als Grenzwert

Oberstufe

e = \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n \approx 2{,}71828

$e$: Eulersche Zahl, Basis der natürlichen Exponentialfunktion
$n$: natürliche Zahl, die gegen unendlich geht

Die Eulersche Zahl e ≈ 2,71828 ist der Grenzwert der Folge (1 + 1/n)ⁿ für n gegen unendlich.

Erklärung

Die Folge $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ wächst mit $n$ , bleibt aber immer unter $3$ . Sie hat deshalb einen Grenzwert, die Eulersche Zahl $e \approx 2{,}71828$ . $e$ ist irrational, ihre Dezimalstellen brechen nie ab und werden nie periodisch.

$e$ ist die Basis der natürlichen Exponentialfunktion $e^x$ und des natürlichen Logarithmus $\ln x$ . Allgemeiner gilt für jede reelle Zahl $x$ :

e^x = \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{x}{n} \right)^n

Eine anschauliche Deutung liefert die Verzinsung: Wird ein Betrag zu $100\,\%$ pro Jahr verzinst, aber in $n$ gleich langen Abschnitten mit je $\frac{100}{n}\,\%$ , wächst er in einem Jahr auf das $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ -Fache. Bei immer feinerer Unterteilung (stetige Verzinsung) wird daraus das $e$ -Fache.

Beispiele

Die ersten Werte der Folge nähern sich $e$ nur langsam:

\begin{aligned} n = 1&: \quad 2 \\ n = 2&: \quad 2{,}25 \\ n = 10&: \quad \approx 2{,}5937 \\ n = 12&: \quad \approx 2{,}6130 \\ n = 100&: \quad \approx 2{,}7048 \\ n = 1000&: \quad \approx 2{,}7169 \end{aligned}

Selbst bei $n = 1000$ stimmen erst zwei Nachkommastellen. Die Exponentialreihe liefert $e$ wesentlich schneller.

Mit der Verallgemeinerung ist $\left(1 + \frac{2}{n}\right)^n$ für große $n$ ungefähr $e^2 \approx 7{,}389$ .

Typische Fehler

„ $1^\infty = 1$ “ schließen. Die Basis $1 + \frac{1}{n}$ ist immer etwas größer als $1$ , und der Exponent wächst gleichzeitig. Der Grenzwert ist $e$ , nicht $1$ .
Glauben, die Folge wachse unbegrenzt. Sie ist nach oben durch $3$ beschränkt.
$e$ mit dem gerundeten Wert $2{,}7$ gleichsetzen und dann mit vielen Stellen weiterrechnen.

Eulersche Zahl als Grenzwert