Arithmetische Folge

Oberstufe

a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d

Voraussetzung: $n \in \mathbb{N},$ $n \geq 1$

$a_n$: n-tes Glied der Folge
$a_1$: erstes Glied der Folge
$n$: Nummer (Index) des gesuchten Glieds
$d$: konstante Differenz zwischen zwei aufeinanderfolgenden Gliedern

In einer arithmetischen Folge wächst jedes Glied um dieselbe Differenz d, das n-te Glied ist a₁ + (n − 1) · d.

Erklärung

Eine Folge ist eine durchnummerierte Liste von Zahlen $a_1, a_2, a_3, \ldots$ . Sie heißt arithmetisch, wenn die Differenz zweier aufeinanderfolgender Glieder immer gleich ist:

a_{n+1} - a_n = d \quad \text{für alle } n

Das ist die rekursive Beschreibung: Man kommt vom einen Glied zum nächsten, indem man $d$ addiert. Die Formel oben ist die explizite Darstellung. Mit ihr berechnet man jedes Glied direkt, ohne alle Glieder davor zu kennen.

Vom ersten bis zum $n$ -ten Glied sind es $n - 1$ Schritte, deshalb steht dort $(n - 1) \cdot d$ . Für $d > 0$ wächst die Folge, für $d < 0$ fällt sie, für $d = 0$ ist sie konstant. Trägt man die Punkte $(n \mid a_n)$ in ein Koordinatensystem ein, liegen sie auf einer Geraden mit der Steigung $d$ .

Beginnt die Nummerierung bei $0$ , lautet die Formel $a_n = a_0 + n \cdot d$ .

Beispiele

Die Folge $3, 7, 11, 15, \ldots$ hat $a_1 = 3$ und $d = 4$ . Das zehnte Glied ist

a_{10} = 3 + 9 \cdot 4 = 39

Bei $a_1 = 7$ und $d = 5$ : Welches Glied hat den Wert $102$ ? Man setzt $a_n = 102$ und stellt nach $n$ um:

102 = 7 + (n - 1) \cdot 5 \quad\Rightarrow\quad n - 1 = \frac{95}{5} = 19 \quad\Rightarrow\quad n = 20

Von einer arithmetischen Folge kennt man $a_3 = 11$ und $a_8 = 26$ . Zwischen den beiden Gliedern liegen $8 - 3 = 5$ Schritte, also

d = \frac{26 - 11}{5} = 3, \qquad a_1 = a_3 - 2d = 11 - 6 = 5

Typische Fehler

$a_1 + n \cdot d$ rechnen. Für das zehnte Glied im ersten Beispiel ergäbe das $3 + 40 = 43$ statt $39$ . Bis zum $n$ -ten Glied sind es nur $n - 1$ Schritte.
Bei fallenden Folgen das Vorzeichen von $d$ vergessen: $20, 17, 14, \ldots$ hat $d = -3$ .
Die Formel mit $a_1$ benutzen, obwohl die Folge bei $a_0$ beginnt.
Beim Bestimmen von $d$ aus zwei Gliedern durch die Indizes statt durch ihre Differenz teilen.

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