Summe der reziproken Quadratzahlen

Erklärung

Dass $\sum \frac{1}{n^2}$ konvergiert, folgt leicht aus dem Integralkriterium. Den Wert $\frac{\pi^2}{6} \approx 1{,}6449$ fand Leonhard Euler 1734; die Frage war als Basler Problem bekannt. Überraschend ist, dass die Kreiszahl in einer Summe über natürliche Zahlen auftaucht.

Ein heute üblicher Beweis nutzt Fourierreihen: Die Fourierreihe von $f(x) = x$ auf $(-\pi, \pi)$ hat die Koeffizienten $b_n = \frac{2(-1)^{n+1}}{n}$. Die Parsevalsche Gleichung $\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} x^2\,dx = \sum b_n^2$ ergibt $\frac{2\pi^2}{3} = 4 \sum \frac{1}{n^2}$.

Daraus folgen weitere Summen:

• Nur gerade $n$: $\sum \frac{1}{(2n)^2} = \frac{1}{4} \cdot \frac{\pi^2}{6} = \frac{\pi^2}{24}$.
• Nur ungerade $n$: $\sum \frac{1}{(2n - 1)^2} = \frac{\pi^2}{6} - \frac{\pi^2}{24} = \frac{\pi^2}{8}$.
• Alternierend: $\sum \frac{(-1)^{n+1}}{n^2} = \frac{\pi^2}{6} - 2 \cdot \frac{\pi^2}{24} = \frac{\pi^2}{12}$.

Für vierte Potenzen gilt entsprechend $\sum \frac{1}{n^4} = \frac{\pi^4}{90}$.

Beispiele

Die ersten vier Glieder ergeben $1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{16} = \frac{205}{144} \approx 1{,}4236$. Die Reihe konvergiert langsam: Nach $N$ Gliedern fehlt noch etwa $\frac{1}{N}$. Mit $10\,000$ Gliedern stimmen deshalb erst drei Nachkommastellen (gerundet $1{,}645$); addiert man die Restkorrektur $\frac{1}{N}$, sind es sieben.

Typische Fehler

• $\sum \frac{1}{n^2}$ mit der harmonischen Reihe $\sum \frac{1}{n}$ verwechseln. Die harmonische Reihe divergiert.
• $\sum \frac{1}{n^2}$ und $\left(\sum \frac{1}{n}\right)^2$ gleichsetzen. Schon für zwei Glieder ist $\left(1 + \frac{1}{2}\right)^2 = 2{,}25$, aber $1 + \frac{1}{4} = 1{,}25$.
• Den Summationsbeginn übersehen. Startet die Summe bei $n = 2$, ist der Wert $\frac{\pi^2}{6} - 1$.