Monotoniekriterium für Folgen

Studium

(a_n) \text{ monoton wachsend und nach oben beschränkt} \;\Rightarrow\; \lim_{n \to \infty} a_n = \sup_{n \in \mathbb{N}} a_n

Voraussetzung: $(a_n)$ $reelle Folge$

$a_n$: Glieder der Folge
$\sup a_n$: Supremum, die kleinste obere Schranke der Folgenglieder
$n$: Index der Folgenglieder

Jede monoton wachsende, nach oben beschränkte Folge konvergiert gegen ihr Supremum; ebenso fallend und nach unten beschränkt.

Erklärung

Das Monotoniekriterium liefert Konvergenz, ohne dass man den Grenzwert vorher kennen muss. Es braucht zwei Zutaten:

Monotonie: $a_{n+1} \geq a_n$ für alle $n$ (wachsend) bzw. $a_{n+1} \leq a_n$ (fallend).
Beschränktheit in die passende Richtung: nach oben bei wachsenden, nach unten bei fallenden Folgen.

Der Grenzwert ist dann das Supremum (bzw. Infimum) der Folgenglieder. Er kann kleiner sein als die Schranke, die man im Beweis benutzt hat.

Das Kriterium beruht auf der Vollständigkeit der reellen Zahlen. In $\mathbb{Q}$ gilt es nicht: Die Dezimalnäherungen $1;\ 1{,}4;\ 1{,}41;\ \ldots$ von $\sqrt{2}$ wachsen und sind beschränkt, haben aber keinen rationalen Grenzwert.

Typischer Einsatz sind rekursive Folgen $a_{n+1} = g(a_n)$ : Zuerst Monotonie und Beschränktheit mit vollständiger Induktion zeigen. Erst dann weiß man, dass ein Grenzwert $a$ existiert, und darf ihn aus der Fixpunktgleichung $a = g(a)$ bestimmen.

Beispiele

$a_1 = 1$ , $a_{n+1} = \sqrt{2 + a_n}$ : Die ersten Glieder sind $1;\ \sqrt{3} \approx 1{,}7321;\ \sqrt{2 + \sqrt{3}} \approx 1{,}9319$ .

Beschränkt: Ist $a_n < 2$ , dann ist $a_{n+1} < \sqrt{4} = 2$ .
Wachsend: Für $0 \leq a < 2$ gilt $a^2 - a - 2 = (a - 2)(a + 1) < 0$ , also $a < \sqrt{2 + a}$ .

Die Folge konvergiert also. Der Grenzwert erfüllt $a = \sqrt{2 + a}$ , d.h. $a^2 - a - 2 = 0$ mit den Lösungen $2$ und $-1$ . Da alle Glieder positiv sind, ist $a = 2$ .

$a_n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ ist wachsend ( $2;\ 2{,}25;\ \ldots$ ) und durch $3$ nach oben beschränkt. Ihr Grenzwert ist die Eulersche Zahl $e$ . Für $n = 1000$ ist $a_n \approx 2{,}7169$ .

Typische Fehler

Beschränktheit allein für ausreichend halten. $(-1)^n$ ist beschränkt, aber nicht monoton, und divergiert.
Den Grenzwert aus der Fixpunktgleichung berechnen, ohne die Konvergenz zu zeigen. Bei $a_{n+1} = 2a_n$ mit $a_1 = 1$ ist $a = 0$ die einzige Lösung von $a = 2a$ , die Folge $1, 2, 4, \ldots$ divergiert aber.
Die Schranke für den Grenzwert halten. $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ ist durch $3$ beschränkt, der Grenzwert ist $e \approx 2{,}718$ .
Bei wachsenden Folgen eine untere Schranke angeben. Für wachsende Folgen ist die obere Schranke entscheidend.

Monotoniekriterium für Folgen