Majoranten- und Minorantenkriterium

Studium

|a_n| \leq b_n \text{ und } \sum b_n \text{ konvergent} \;\Rightarrow\; \sum a_n \text{ absolut konvergent}

Voraussetzung: $Ungleichung für alle$ $n \geq N$ $(ab einem festen Index)$

$a_n$: Glieder der untersuchten Reihe
$b_n$: Glieder der Vergleichsreihe (Majorante)
$N$: Index, ab dem die Abschätzung gilt

Lässt sich eine Reihe gliedweise durch eine konvergente Reihe abschätzen, konvergiert sie; liegt eine divergente darunter, divergiert sie.

Erklärung

Die Kriterien vergleichen eine Reihe mit einer bekannten Reihe:

Majorantenkriterium: Gilt $|a_n| \leq b_n$ ab einem Index und konvergiert $\sum b_n$ , dann konvergiert $\sum a_n$ absolut. Die größere Reihe „zieht“ die kleinere mit.
Minorantenkriterium: Gilt $0 \leq c_n \leq a_n$ ab einem Index und divergiert $\sum c_n$ , dann divergiert auch $\sum a_n$ .

Als Vergleichsreihen dienen vor allem die geometrische Reihe $\sum q^n$ (konvergent für $|q| < 1$ ) und die Reihen $\sum \frac{1}{n^p}$ (konvergent genau für $p > 1$ ).

Eine bequeme Variante ist das Grenzwertkriterium: Sind $a_n, b_n > 0$ und gilt $\frac{a_n}{b_n} \to c$ mit $0 < c < \infty$ , dann konvergieren beide Reihen oder beide divergieren.

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2 + n}$ : Wegen $\frac{1}{n^2 + n} \leq \frac{1}{n^2}$ und der Konvergenz von $\sum \frac{1}{n^2}$ konvergiert die Reihe. Ihren Wert liefert die Zerlegung $\frac{1}{n^2 + n} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}$ : Die Teilsumme bis $n = 99$ ist $1 - \frac{1}{100} = 0{,}99$ , der Grenzwert ist $1$ .

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n + n}$ : Es gilt $\frac{1}{2^n + n} \leq \left(\frac{1}{2}\right)^n$ . Die geometrische Reihe mit $q = \frac{1}{2}$ hat den Wert $1$ , also konvergiert die Reihe mit einem Wert kleiner als $1$ (er liegt bei etwa $0{,}6973$ ).

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}}$ : Wegen $\frac{1}{\sqrt{n}} \geq \frac{1}{n}$ ist die harmonische Reihe eine divergente Minorante. Die Teilsummen bis $100$ sind etwa $18{,}59$ gegenüber $5{,}19$ bei der harmonischen Reihe.

Typische Fehler

Eine Reihe durch eine divergente Reihe nach oben abschätzen. $\frac{1}{n^2} \leq \frac{1}{n}$ stimmt, beweist aber gar nichts.
Eine Reihe durch eine konvergente Reihe nach unten abschätzen. Auch daraus folgt nichts.
Beim Minorantenkriterium negative Glieder zulassen. Die Abschätzung $c_n \leq a_n$ braucht $c_n \geq 0$ .
Die Ungleichung in die falsche Richtung rechnen. Ein größerer Nenner macht den Bruch kleiner: $\frac{1}{n^2 + n} \leq \frac{1}{n^2}$ , nicht umgekehrt.

Majoranten- und Minorantenkriterium