Konvergenzradius einer Potenzreihe

Studium

r = \frac{1}{\limsup\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}} \quad\text{bzw.}\quad r = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right|

Voraussetzung: $Potenzreihe$ $\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x - x_0)^n;$ $zweite Form nur, wenn$ $a_n \neq 0$ $und der Grenzwert$ $existiert$ $;$ $\tfrac{1}{0} := \infty,$ $\tfrac{1}{\infty} := 0$

$r$: Konvergenzradius (auch 0 oder ∞ möglich)
$a_n$: Koeffizienten der Potenzreihe
$x_0$: Entwicklungspunkt
$x$: Stelle, an der die Reihe ausgewertet wird
$n$: Index der Koeffizienten

Eine Potenzreihe konvergiert absolut für |x − x₀| < r und divergiert für |x − x₀| > r; r folgt aus den Koeffizienten.

Erklärung

Eine Potenzreihe $\sum a_n (x - x_0)^n$ konvergiert nicht für jedes $x$ , sondern in einem Intervall um den Entwicklungspunkt $x_0$ . Der Konvergenzradius $r$ legt dieses Intervall fest:

$|x - x_0| < r$ : Die Reihe konvergiert absolut.
$|x - x_0| > r$ : Die Reihe divergiert.
$|x - x_0| = r$ : Keine allgemeine Aussage. Die beiden Randpunkte $x_0 \pm r$ prüft man einzeln.

Die erste Form (Cauchy-Hadamard) gilt immer. Die zweite Form folgt aus dem Quotientenkriterium und ist meist bequemer, funktioniert aber nur, wenn der Grenzwert existiert. Fehlen Koeffizienten, z.B. bei Reihen mit nur geraden Potenzen, wendet man das Quotientenkriterium direkt auf die Reihenglieder an.

Im Inneren des Konvergenzintervalls darf man die Reihe gliedweise ableiten und integrieren; der Konvergenzradius bleibt dabei gleich.

Beispiele

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n}$ : Es ist $\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right| = \frac{n + 1}{n} \to 1$ , also $r = 1$ . Am Rand $x = 1$ entsteht die harmonische Reihe (divergent), bei $x = -1$ die alternierende harmonische Reihe (konvergent nach Leibniz). Das Konvergenzintervall ist $[-1, 1)$ . Für $x = \frac{1}{2}$ ist der Wert $\ln 2$ .

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{3^n} x^n$ : Es ist

\left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right| = \frac{n / 3^n}{(n + 1) / 3^{n+1}} = \frac{3n}{n + 1} \to 3

Also $r = 3$ . Für $n = 1000$ ist der Quotient etwa $2{,}997$ .

$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$ : Der Quotient ist $n + 1 \to \infty$ , also $r = \infty$ . Die Exponentialreihe konvergiert für alle $x$ .

Typische Fehler

Den Quotienten verkehrt herum bilden. Beim Quotientenkriterium steht $\frac{a_{n+1}}{a_n}$ , für den Radius $\frac{a_n}{a_{n+1}}$ . Im zweiten Beispiel ergäbe der falsche Quotient $\frac{1}{3}$ statt $3$ .
Die Randpunkte vergessen oder mit innen gleichsetzen. Wie das erste Beispiel zeigt, kann die Reihe an einem Rand konvergieren und am anderen divergieren.
Das Intervall um $0$ statt um $x_0$ legen. Bei $\sum \frac{(x - 2)^n}{n}$ ist das Konvergenzintervall $[1, 3)$ .

Konvergenzradius einer Potenzreihe