Gaußsche Summenformel

Mittelstufe

1 + 2 + 3 + \ldots + n = \frac{n \cdot (n + 1)}{2}

Voraussetzung: $n \in \mathbb{N},$ $n \geq 1$

$n$: letzte (größte) Zahl, bis zu der addiert wird

Die Summe aller natürlichen Zahlen von 1 bis n ist n · (n + 1) / 2.

Erklärung

Die Formel liefert die Summe aller Zahlen von $1$ bis $n$ , ohne dass man alle einzeln addieren muss. Man rechnet einfach: $n$ mal die nächste Zahl, geteilt durch $2$ .

Der Name geht auf eine Geschichte über den Mathematiker Carl Friedrich Gauß zurück: Als Schüler soll er die Zahlen von $1$ bis $100$ in kürzester Zeit addiert haben, indem er geschickt Paare bildete.

Die Ergebnisse $1, 3, 6, 10, 15, \ldots$ heißen Dreieckszahlen, weil man so viele Punkte zu einem Dreieck legen kann.

Herleitung

Man bildet Paare aus der kleinsten und der größten Zahl, der zweitkleinsten und der zweitgrößten usw.:

1 + 100 = 101, \quad 2 + 99 = 101, \quad \ldots, \quad 50 + 51 = 101

Jedes Paar ergibt $n + 1$ . Es gibt halb so viele Paare wie Zahlen, also $\frac{n}{2}$ Paare. Zusammen sind das $\frac{n}{2} \cdot (n + 1)$ . Das funktioniert auch für ungerade $n$ , wie man durch Nachrechnen sieht.

Beispiele

Die Zahlen von $1$ bis $100$ :

1 + 2 + \ldots + 100 = \frac{100 \cdot 101}{2} = 5050

Die Zahlen von $1$ bis $40$ :

\frac{40 \cdot 41}{2} = 820

Die Zahlen von $51$ bis $100$ : Man rechnet die Summe bis $100$ und zieht die Summe bis $50$ ab.

5050 - \frac{50 \cdot 51}{2} = 5050 - 1275 = 3775

Typische Fehler

Durch $2$ teilen vergessen: $100 \cdot 101 = 10100$ ist doppelt so groß wie die Summe.
$n \cdot (n - 1)$ statt $n \cdot (n + 1)$ rechnen.
Bei Summen, die nicht bei $1$ beginnen, die falsche Summe abziehen. Für $51$ bis $100$ zieht man die Summe bis $50$ ab, nicht bis $51$ . Wer nur bis $49$ abzieht, erhält $3825$ , also $50$ zu viel.
Die Formel für Zahlen verwenden, die nicht in Einerschritten aufeinander folgen, z.B. $2 + 4 + 6 + \ldots$

Gaußsche Summenformel