Geometrische Folge

Oberstufe

a_n = a_1 \cdot q^{n - 1}

Voraussetzung: $a_1 \neq 0,$ $q \neq 0,$ $n \in \mathbb{N},$ $n \geq 1$

$a_n$: n-tes Glied der Folge
$a_1$: erstes Glied der Folge
$q$: konstanter Quotient zweier aufeinanderfolgender Glieder
$n$: Nummer (Index) des gesuchten Glieds

In einer geometrischen Folge entsteht jedes Glied durch Multiplikation mit demselben Faktor q, also a₁ · qⁿ⁻¹.

Erklärung

Eine Folge heißt geometrisch, wenn der Quotient zweier aufeinanderfolgender Glieder immer gleich ist:

\frac{a_{n+1}}{a_n} = q \quad \text{für alle } n

Rekursiv heißt das: Jedes Glied entsteht aus dem vorigen durch Multiplikation mit $q$ . Die Formel oben ist die explizite Darstellung. Vom ersten bis zum $n$ -ten Glied wird $n - 1$ -mal mit $q$ multipliziert.

Das Verhalten hängt von $q$ ab:

$q > 1$ : Die Beträge wachsen (bei $a_1 > 0$ exponentielles Wachstum).
$0 < q < 1$ : Die Glieder nähern sich $0$ (exponentielle Abnahme).
$q < 0$ : Die Vorzeichen wechseln ab, man spricht von einer alternierenden Folge.

Geometrische Folgen sind das diskrete Gegenstück zu Exponentialfunktionen: $a_n = \frac{a_1}{q} \cdot q^n$ . Typische Anwendungen sind Wachstums- und Zerfallsprozesse in festen Zeitschritten. $a_1 = 0$ und $q = 0$ werden ausgeschlossen, weil sonst der Quotient nicht gebildet werden kann.

Beispiele

Die Folge $3, 6, 12, 24, \ldots$ hat $a_1 = 3$ und $q = 2$ . Das achte Glied ist

a_8 = 3 \cdot 2^7 = 3 \cdot 128 = 384

Ein Ball springt jedes Mal auf die Hälfte der vorigen Höhe. Der erste Sprung ist $800\,\text{mm}$ hoch. Der sechste Sprung:

a_6 = 800 \cdot 0{,}5^5 = 25\,\text{mm}

Von einer geometrischen Folge kennt man $a_3 = 12$ und $a_6 = 96$ . Zwischen den Gliedern liegen drei Multiplikationen mit $q$ :

q^3 = \frac{96}{12} = 8 \quad\Rightarrow\quad q = 2, \qquad a_1 = \frac{a_3}{q^2} = \frac{12}{4} = 3

Typische Fehler

$a_1 \cdot q^n$ rechnen. Im ersten Beispiel ergäbe das $3 \cdot 2^8 = 768$ , doppelt so viel wie richtig.
Arithmetisch und geometrisch verwechseln: Bei $3, 6, 12, \ldots$ wird nicht immer $3$ addiert, sondern verdoppelt.
Bei geradem Exponenten nur die positive Lösung beachten: Aus $q^2 = 4$ folgt $q = 2$ oder $q = -2$ .
Die Formel mit $a_1$ benutzen, obwohl die Folge bei $a_0$ beginnt. Dann gilt $a_n = a_0 \cdot q^n$ .

Geometrische Folge