Konvergenz der Reihe 1/nᵖ

Erklärung

Die Reihen $\sum \frac{1}{n^p}$ sind die wichtigsten Vergleichsreihen neben der geometrischen Reihe. Die Grenze liegt genau bei $p = 1$:

• $p > 1$: Die Reihe konvergiert. Ihr Wert heißt $\zeta(p)$ (Riemannsche Zetafunktion), z.B. $\zeta(2) = \frac{\pi^2}{6}$ und $\zeta(4) = \frac{\pi^4}{90}$.
• $p = 1$: Die harmonische Reihe, sie divergiert.
• $p < 1$: Die Glieder sind größer als $\frac{1}{n}$, die Reihe divergiert erst recht. Für $p \leq 0$ bilden die Glieder nicht einmal eine Nullfolge.

Der Beweis gelingt mit dem Integralkriterium: Für $p \neq 1$ ist $\int_1^N x^{-p}\,dx = \frac{N^{1-p} - 1}{1 - p}$. Das bleibt für $N \to \infty$ genau dann beschränkt, wenn $1 - p < 0$ ist.

Für $p > 1$ ist der Rest nach $N$ Gliedern höchstens $\frac{N^{1-p}}{p - 1}$.

Quotienten- und Wurzelkriterium versagen bei diesen Reihen: Der Grenzwert ist für jedes $p$ gleich $1$.

Beispiele

$p = 2$: Die Teilsumme bis $1000$ ist etwa $1{,}6439$, der Grenzwert $\frac{\pi^2}{6} \approx 1{,}6449$. Der Rest ist höchstens $\frac{1}{1000}$.

$p = \frac{1}{2}$: $\sum \frac{1}{\sqrt{n}}$ divergiert. Die Teilsumme bis $100$ ist schon etwa $18{,}59$.

$p = 1{,}01$: Die Reihe konvergiert, aber sehr langsam. Die Teilsumme bis $1000$ ist etwa $7{,}25$, der Rest danach kann laut Schranke noch bis zu $\frac{1000^{-0{,}01}}{0{,}01} \approx 93{,}3$ betragen. Der Grenzwert $\zeta(1{,}01)$ liegt bei etwa $100{,}6$.

Typische Fehler

• Aus $\frac{1}{n^p} \to 0$ auf Konvergenz schließen. Für $0 < p \leq 1$ gehen die Glieder gegen $0$, die Reihe divergiert trotzdem.
• Den Grenzfall $p = 1$ der Konvergenz zuschlagen. Konvergenz gilt nur für $p$ echt größer als $1$.
• Das Quotientenkriterium versuchen und aus dem Grenzwert $1$ eine Aussage ableiten.