Exponentialreihe

Erklärung

Die Exponentialreihe stellt $e^x$ als unendliche Summe von Potenzen dar. Sie konvergiert für jedes $x$, der Konvergenzradius ist unendlich. Das folgt aus dem Quotientenkriterium, denn

In der Analysis dient die Reihe oft als Definition der Exponentialfunktion: $\exp(x) := \sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!}$. Daraus folgen die Funktionalgleichung $\exp(x + y) = \exp(x) \exp(y)$ (über das Cauchy-Produkt) und $\exp' = \exp$ (gliedweises Ableiten einer Potenzreihe). Mit $e := \exp(1)$ gilt dann $\exp(x) = e^x$.

Die Reihe ist zugleich die Taylorreihe von $e^x$ um $x_0 = 0$, denn alle Ableitungen von $e^x$ haben an der Stelle $0$ den Wert $1$. Für komplexe Argumente liefert sie die Eulersche Formel $e^{i\varphi} = \cos \varphi + i \sin \varphi$.

Beispiele

Für $x = 1$ ergibt sich $e$. Schon die Glieder bis $k = 6$ liefern drei richtige Nachkommastellen:

Der genaue Wert ist $e \approx 2{,}7183$. Das nächste Glied wäre $\frac{1}{7!} = \frac{1}{5040}$.

Für $x = 0{,}5$ mit vier Gliedern:

Der genaue Wert ist $e^{0{,}5} \approx 1{,}6487$.

Für $x = -1$ wechseln die Vorzeichen, und die Reihe konvergiert gegen $e^{-1} \approx 0{,}3679$.

Typische Fehler

• Die Fakultät im Nenner weglassen. $\sum x^k$ ist die geometrische Reihe, die nur für $|x| < 1$ konvergiert.
• Bei $k = 1$ statt bei $k = 0$ beginnen und so das Glied $1$ verlieren.
• $0! = 0$ setzen. Richtig ist $0! = 1$, sonst entsteht eine Division durch $0$.
• Für großes $|x|$ wenige Glieder für ausreichend halten. Die Glieder werden erst klein, wenn $k$ deutlich größer als $|x|$ ist.