Fourierkoeffizienten

Studium

a_n = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(x) \cos(n \omega x)\,dx,\qquad b_n = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(x) \sin(n \omega x)\,dx

Voraussetzung: $f\ T$ $-periodisch$ $und über eine Periode$ $integrierbar$ $,$ $\omega = \tfrac{2\pi}{T},$ $n \geq 0$ $für$ $a_n,$ $n \geq 1$ $für$ $b_n$

$a_n$: Kosinuskoeffizienten (a₀/2 ist der Mittelwert von f)
$b_n$: Sinuskoeffizienten
$f$: periodische Funktion
$T$: Periode von f
$\omega$: Grundkreisfrequenz 2π/T
$n$: Nummer der Oberschwingung
$x$: Integrationsvariable

Die Fourierkoeffizienten aₙ und bₙ entstehen durch Integration von f mal cos(nωx) bzw. sin(nωx) über eine Periode.

Erklärung

Die Formeln bestimmen die Koeffizienten der Fourierreihe. Sie beruhen auf der Orthogonalität der Funktionen $\cos(n\omega x)$ und $\sin(n\omega x)$ : Das Integral über eine Periode vom Produkt zweier verschiedener solcher Funktionen ist $0$ . Multipliziert man die Reihe mit $\cos(n\omega x)$ und integriert, bleibt nur der Term mit $a_n$ übrig.

Integriert wird über eine beliebige Periode, z.B. $[0, T]$ oder $\left[-\frac{T}{2}, \frac{T}{2}\right]$ .
Für $T = 2\pi$ ist $\omega = 1$ , und der Vorfaktor wird $\frac{1}{\pi}$ .
$\frac{a_0}{2} = \frac{1}{T} \int_0^T f(x)\,dx$ ist der Mittelwert von $f$ .
Ist $f$ gerade, gilt $b_n = 0$ ; ist $f$ ungerade, gilt $a_n = 0$ .

Die Parsevalsche Gleichung verbindet die Koeffizienten mit der „Energie“ des Signals:

\frac{2}{T}\int_0^T f(x)^2\,dx = \frac{a_0^2}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n^2 + b_n^2 \right)

Beispiele

Sägezahn $f(x) = x$ auf $(-\pi, \pi)$ , $T = 2\pi$ : $f$ ist ungerade, also $a_n = 0$ . Mit partieller Integration:

b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} x \sin(nx)\,dx = \frac{2(-1)^{n+1}}{n}

Also $b_1 = 2$ , $b_2 = -1$ , $b_3 = \frac{2}{3}$ . Mit Parseval folgt $\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} x^2\,dx = \frac{2\pi^2}{3} = \sum \frac{4}{n^2}$ , also $\sum \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$ .

Dreieckschwingung $f(x) = |x|$ auf $(-\pi, \pi)$ : $f$ ist gerade, also $b_n = 0$ . Es ist $a_0 = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} |x|\,dx = \pi$ und

a_n = \frac{2\bigl((-1)^n - 1\bigr)}{\pi n^2}

Für gerade $n$ ist $a_n = 0$ , für ungerade $n$ ist $a_n = -\frac{4}{\pi n^2}$ , z.B. $a_1 = -\frac{4}{\pi} \approx -1{,}2732$ .

Typische Fehler

Den Vorfaktor falsch wählen. Er ist $\frac{2}{T}$ , bei $T = 2\pi$ also $\frac{1}{\pi}$ , nicht $\frac{1}{2\pi}$ .
Bei $a_0$ den Faktor $\frac{1}{2}$ doppelt anwenden. Mit dieser Formel für $a_0$ steht in der Reihe $\frac{a_0}{2}$ ; der Mittelwert der Dreieckschwingung ist $\frac{\pi}{2}$ , nicht $\pi$ und nicht $\frac{\pi}{4}$ .
Symmetrien nicht nutzen und lange Integrale ausrechnen, die ohnehin $0$ ergeben.
Über ein Intervall integrieren, das keine volle Periode ist.

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