Endliche geometrische Reihe

Oberstufe

s_n = a_1 + a_1 q + \ldots + a_1 q^{n-1} = a_1 \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1}

Voraussetzung: $q \neq 1,$ $n \in \mathbb{N},$ $n \geq 1$

$s_n$: Summe der ersten n Glieder
$a_1$: erstes Glied
$q$: konstanter Quotient der Folge
$n$: Anzahl der addierten Glieder

Die Summe der ersten n Glieder einer geometrischen Folge ist a₁ · (qⁿ − 1) / (q − 1), sofern q ≠ 1.

Erklärung

Addiert man die ersten $n$ Glieder einer geometrischen Folge $a_1, a_1 q, a_1 q^2, \ldots$ , erhält man die endliche geometrische Reihe $s_n$ . Die Formel liefert diese Summe ohne Einzeladdition.

Für $q = 1$ ist der Bruch nicht definiert. Dann sind alle Glieder gleich, und es gilt einfach $s_n = n \cdot a_1$ .

Für $|q| < 1$ ist die Form $s_n = a_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q}$ bequemer, weil Zähler und Nenner dann positiv sind. Beide Formen sind gleichwertig, man erweitert nur mit $-1$ .

Herleitung

Man multipliziert die Summe mit $q$ und zieht sie von sich selbst ab:

\begin{aligned} q \cdot s_n &= a_1 q + a_1 q^2 + \ldots + a_1 q^n \\ q \cdot s_n - s_n &= a_1 q^n - a_1 \end{aligned}

Alle mittleren Glieder heben sich weg. Ausklammern und durch $q - 1$ teilen ergibt die Formel.

Beispiele

Die ersten $8$ Glieder der Folge $3, 6, 12, \ldots$ :

s_8 = 3 \cdot \frac{2^8 - 1}{2 - 1} = 3 \cdot 255 = 765

Auf das erste Feld eines Schachbretts legt man ein Reiskorn, auf jedes weitere doppelt so viele wie auf das vorige. Auf allen $64$ Feldern zusammen liegen

s_{64} = 1 \cdot \frac{2^{64} - 1}{2 - 1} = 2^{64} - 1 \approx 1{,}84 \cdot 10^{19} \text{ Körner}

Eine Firma verkauft im ersten Jahr $1000$ Geräte, danach jedes Jahr $10\,\%$ weniger als im Vorjahr, also $q = 0{,}9$ . In zehn Jahren sind das

s_{10} = 1000 \cdot \frac{1 - 0{,}9^{10}}{1 - 0{,}9} \approx 6513{,}22

also rund $6513$ Geräte.

Typische Fehler

Den Exponenten $n - 1$ aus der Folgenformel übernehmen. In der Summenformel steht $q^n$ .
Nur den Zähler umdrehen: $\frac{1 - q^n}{q - 1}$ hat das falsche Vorzeichen.
Die Formel bei $q = 1$ anwenden. Dann gilt $s_n = n \cdot a_1$ .
$n$ falsch zählen, wenn die Summe nicht beim ersten Glied beginnt.

Endliche geometrische Reihe