Integralkriterium

Studium

\sum_{n=1}^{\infty} f(n) \text{ konvergiert} \;\Leftrightarrow\; \int_{1}^{\infty} f(x)\,dx \text{ konvergiert}

Voraussetzung: $f: [1, \infty) \to \mathbb{R}$ $stetig, nichtnegativ und monoton fallend$

$f$: stetige, nichtnegative, monoton fallende Funktion mit f(n) als Reihengliedern
$n$: Index der Reihenglieder
$x$: Integrationsvariable

Bei positiven, monoton fallenden Gliedern f(n) konvergiert die Reihe genau dann, wenn das uneigentliche Integral von f konvergiert.

Erklärung

Das Integralkriterium übersetzt eine Reihenfrage in eine Integralfrage. Weil $f$ monoton fällt, liegen die Rechtecke mit Höhe $f(n)$ und Breite $1$ einmal oberhalb und einmal unterhalb der Fläche unter dem Graphen. Daraus folgt die Abschätzung

\int_1^{N+1} f(x)\,dx \;\leq\; \sum_{n=1}^{N} f(n) \;\leq\; f(1) + \int_1^{N} f(x)\,dx

Bleiben die Integrale beschränkt, sind es auch die Teilsummen, und die Reihe konvergiert. Wachsen sie über alle Grenzen, divergiert die Reihe.

Für den Rest einer konvergenten Reihe gilt entsprechend

\int_{N+1}^{\infty} f(x)\,dx \;\leq\; \sum_{n=N+1}^{\infty} f(n) \;\leq\; \int_{N}^{\infty} f(x)\,dx

Damit lässt sich abschätzen, wie viele Glieder man für eine gewünschte Genauigkeit braucht. Die Reihe darf auch bei einem anderen Index starten; dann beginnt das Integral dort.

Beispiele

Harmonische Reihe: $\int_1^N \frac{1}{x}\,dx = \ln N \to \infty$ , also divergiert $\sum \frac{1}{n}$ . Die Abschätzung für $N = 100$ :

\ln 101 \approx 4{,}6151 \;\leq\; \sum_{n=1}^{100} \frac{1}{n} \approx 5{,}1874 \;\leq\; 1 + \ln 100 \approx 5{,}6052

$\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n \ln n}$ : Eine Stammfunktion von $\frac{1}{x \ln x}$ ist $\ln(\ln x)$ , und $\ln(\ln x) \to \infty$ . Die Reihe divergiert, wenn auch extrem langsam.

Rest von $\sum \frac{1}{n^2}$ nach $N = 10$ Gliedern: Mit $\int_N^\infty \frac{dx}{x^2} = \frac{1}{N}$ liegt der Rest zwischen $\frac{1}{11} \approx 0{,}0909$ und $\frac{1}{10} = 0{,}1$ . Tatsächlich ist er etwa $0{,}0952$ .

Typische Fehler

Den Reihenwert mit dem Integralwert gleichsetzen. $\int_1^\infty \frac{dx}{x^2} = 1$ , aber $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6} \approx 1{,}645$ . Das Kriterium sagt nur, ob die Reihe konvergiert.
Die Monotonie nicht prüfen. Für nicht monotone Funktionen kann das Integral konvergieren, während die Reihe divergiert, oder umgekehrt.
Das Kriterium auf Reihen mit wechselnden Vorzeichen anwenden. Dafür ist z.B. das Leibniz-Kriterium zuständig.

Integralkriterium