Leibniz-Kriterium

Studium

\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} a_n \text{ konvergiert}, \quad |s - s_n| \leq a_{n+1}

Voraussetzung: $(a_n)$ $monoton$ $fallend$ $,$ $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$

$a_n$: Betrag des n-ten Glieds, nicht negativ
$(-1)^{n+1}$: Vorzeichenwechsel, beginnend mit plus
$s$: Wert (Grenzwert) der Reihe
$s_n$: n-te Partialsumme
$n$: Index der Glieder

Eine alternierende Reihe, deren Gliedbeträge monoton gegen 0 fallen, konvergiert; der Fehler ist höchstens das nächste Glied.

Erklärung

Eine Reihe heißt alternierend, wenn ihre Glieder abwechselnd positiv und negativ sind. Das Leibniz-Kriterium sagt: Bilden die Beträge $a_n$ eine monoton fallende Nullfolge, dann konvergiert die alternierende Reihe.

Die Partialsummen springen dabei abwechselnd über und unter den Grenzwert $s$ , und die Sprünge werden immer kleiner. Daraus folgt die Fehlerabschätzung: Der Abstand zwischen $s$ und $s_n$ ist höchstens so groß wie das erste weggelassene Glied $a_{n+1}$ . Außerdem liegt $s$ immer zwischen zwei aufeinanderfolgenden Partialsummen.

Das Kriterium zeigt nur Konvergenz, nicht absolute Konvergenz. Die alternierende harmonische Reihe konvergiert, die Reihe der Beträge (die harmonische Reihe) aber nicht. Solche Reihen heißen bedingt konvergent; ihre Glieder darf man nicht beliebig umordnen.

Beginnt die Reihe mit einem negativen Glied oder bei einem anderen Index, gilt dasselbe. Monotonie muss erst ab einem Index $N$ gelten.

Beispiele

Die alternierende harmonische Reihe $1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \ldots$ erfüllt die Voraussetzungen mit $a_n = \frac{1}{n}$ . Ihr Wert ist $\ln 2 \approx 0{,}6931$ . Die vierte Partialsumme ist

s_4 = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{7}{12} \approx 0{,}5833

Der tatsächliche Fehler $0{,}1098$ ist kleiner als die Schranke $a_5 = \frac{1}{5}$ .

Die Leibniz-Reihe $1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \ldots = \frac{\pi}{4}$ hat $a_n = \frac{1}{2n - 1}$ . Mit vier Gliedern ergibt sich $0{,}7238$ , der genaue Wert ist $\frac{\pi}{4} \approx 0{,}7854$ . Der Fehler $0{,}0616$ liegt unter der Schranke $\frac{1}{9} \approx 0{,}111$ .

Wie viele Glieder der alternierenden harmonischen Reihe garantieren einen Fehler von höchstens $10^{-3}$ ? Aus $a_{n+1} = \frac{1}{n + 1} \leq 10^{-3}$ folgt $n \geq 999$ . Tatsächlich ist der Fehler bei $n = 999$ etwa $0{,}0005$ .

Typische Fehler

Die Monotonie nicht prüfen. Eine alternierende Reihe mit Nullfolge, aber nicht monotonen Beträgen kann divergieren.
Aus dem Leibniz-Kriterium absolute Konvergenz folgern.
Die Fehlerschranke mit dem letzten addierten Glied $a_n$ statt mit dem ersten weggelassenen Glied $a_{n+1}$ bilden.
Das Kriterium auf Reihen anwenden, deren Vorzeichen nicht streng abwechseln.

Leibniz-Kriterium