Potenzreihe von ln(1 + x)

Studium

\ln(1 + x) = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{x^n}{n} = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots

Voraussetzung: $-1 < x \leq 1$

$x$: reelle Zahl im Konvergenzbereich
$n$: Summationsindex

Für −1 < x ≤ 1 ist ln(1 + x) die alternierende Reihe x − x²/2 + x³/3 − …; bei x = 1 ergibt sich ln 2.

Erklärung

Die Reihe heißt auch Mercator-Reihe. Man erhält sie durch gliedweise Integration der geometrischen Reihe:

\frac{1}{1 + t} = 1 - t + t^2 - t^3 + \cdots \quad\Rightarrow\quad \ln(1 + x) = \int_0^x \frac{dt}{1 + t} = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots

Der Konvergenzradius ist $1$ . Am Rand ist das Verhalten verschieden:

$x = 1$ : Es entsteht die alternierende harmonische Reihe, die nach Leibniz konvergiert, und zwar gegen $\ln 2$ .
$x = -1$ : Es entsteht die negative harmonische Reihe, die divergiert. Das passt dazu, dass $\ln 0$ nicht definiert ist.

Die Reihe entwickelt $\ln$ um die Stelle $1$ , nicht um $0$ ; $\ln x$ selbst hat bei $0$ keine Taylorreihe. Für schnelle Berechnungen nutzt man die Differenz der Reihen von $\ln(1 + x)$ und $\ln(1 - x)$ :

\ln \frac{1 + x}{1 - x} = 2\left( x + \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} + \cdots \right),\quad |x| < 1

Beispiele

$\ln 1{,}1$ mit drei Gliedern: $0{,}1 - \frac{0{,}01}{2} + \frac{0{,}001}{3} \approx 0{,}095333$ . Der genaue Wert ist $0{,}095310$ .

$x = 1$ : Die alternierende harmonische Reihe konvergiert sehr langsam. Nach $1000$ Gliedern stimmen erst drei Nachkommastellen, $\ln 2 \approx 0{,}693$ .

Schneller geht es mit $\frac{1 + x}{1 - x} = 2$ , also $x = \frac{1}{3}$ :

\ln 2 = 2\left( \frac{1}{3} + \frac{1}{81} + \frac{1}{1215} + \frac{1}{15309} + \cdots \right) \approx 0{,}69313

Diese vier Glieder liegen nur zwei Einheiten der fünften Nachkommastelle neben $\ln 2 \approx 0{,}69315$ .

Typische Fehler

Die Reihe außerhalb des Konvergenzbereichs benutzen. $\ln 3 = \ln(1 + 2)$ lässt sich so nicht berechnen, die Glieder $\frac{2^n}{n}$ wachsen.
Fakultäten in den Nenner schreiben wie bei der Exponentialreihe. Hier steht nur $n$ .
Die Reihe für $\ln x$ statt für $\ln(1 + x)$ halten. Für $\ln 1{,}1$ setzt man $x = 0{,}1$ ein, nicht $x = 1{,}1$ .

Potenzreihe von ln(1 + x)