Summe der Kubikzahlen

Oberstufe

\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left( \frac{n(n + 1)}{2} \right)^2

Voraussetzung: $n \in \mathbb{N},$ $n \geq 1$

$n$: Anzahl der Summanden, letzte Zahl, die hoch drei genommen wird
$k$: Summationsindex, läuft von 1 bis n

Die Summe der Kubikzahlen 1³ + 2³ + … + n³ ist das Quadrat der Summe 1 + 2 + … + n.

Erklärung

Die Summe der ersten $n$ Kubikzahlen $1 + 8 + 27 + \ldots + n^3$ ist genau das Quadrat der Gaußschen Summe $1 + 2 + \ldots + n$ . Man berechnet also erst $\frac{n(n + 1)}{2}$ und quadriert das Ergebnis.

Ausmultipliziert lautet die Formel $\frac{n^2 (n + 1)^2}{4}$ . Für große $n$ ist die Summe ungefähr $\frac{n^4}{4}$ , passend zu $\int_0^n x^3 \, dx$ .

Herleitung

Mit vollständiger Induktion: Für $n = 1$ gilt $1^3 = 1 = 1^2$ . Gilt die Formel für ein $n$ , addiert man $(n + 1)^3$ :

\frac{n^2 (n + 1)^2}{4} + (n + 1)^3 = \frac{(n + 1)^2 \left(n^2 + 4n + 4\right)}{4} = \left( \frac{(n + 1)(n + 2)}{2} \right)^2

Beispiele

Für $n = 5$ :

1 + 8 + 27 + 64 + 125 = 225 = \left( \frac{5 \cdot 6}{2} \right)^2 = 15^2

Für $n = 10$ :

\sum_{k=1}^{10} k^3 = 55^2 = 3025

Die Kubikzahlen von $6^3$ bis $10^3$ : $3025 - 225 = 2800$ .

Typische Fehler

Das Quadrieren vergessen. $\frac{10 \cdot 11}{2} = 55$ ist die Summe der Zahlen, nicht der Kubikzahlen.
Die Formel mit der Summe der Quadratzahlen verwechseln, die $\frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$ lautet.
Beim Quadrieren nur den Zähler quadrieren: Der Nenner wird zu $4$ , nicht zu $2$ .

Summe der Kubikzahlen