Unendliche geometrische Reihe

Oberstufe

\sum_{k=0}^{\infty} a_1 q^k = a_1 + a_1 q + a_1 q^2 + \ldots = \frac{a_1}{1 - q}

Voraussetzung: $|q| < 1$

$a_1$: erstes Glied der Reihe
$q$: konstanter Quotient, Betrag kleiner als 1
$k$: Summationsindex

Für |q| < 1 hat die unendliche geometrische Reihe a₁ + a₁q + a₁q² + … den endlichen Wert a₁ / (1 − q).

Erklärung

Die Partialsummen einer geometrischen Reihe sind $s_n = a_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q}$ . Ist $|q| < 1$ , geht $q^n$ für $n \to \infty$ gegen $0$ . Die Partialsummen nähern sich dann dem festen Wert $\frac{a_1}{1 - q}$ . Man sagt, die Reihe konvergiert, und nennt diesen Grenzwert den Wert oder die Summe der Reihe.

Für $|q| \geq 1$ (und $a_1 \neq 0$ ) gehen die Glieder nicht gegen $0$ , die Reihe divergiert und hat keinen Wert. $\frac{a_1}{1 - q}$ darf man dann nicht verwenden.

Der Abstand zwischen Grenzwert und $n$ -ter Partialsumme ist genau $\frac{a_1 q^n}{1 - q}$ . Damit lässt sich abschätzen, wie viele Glieder für eine bestimmte Genauigkeit nötig sind.

Beispiele

Halbiert man immer weiter, ergibt die Summe genau ein Ganzes:

\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \ldots = \frac{0{,}5}{1 - 0{,}5} = 1

Die periodische Dezimalzahl $0{,}\overline{9}$ ist die Reihe $0{,}9 + 0{,}09 + 0{,}009 + \ldots$ mit $a_1 = 0{,}9$ und $q = 0{,}1$ :

0{,}\overline{9} = \frac{0{,}9}{1 - 0{,}1} = 1

Genauso wandelt man jede periodische Dezimalzahl in einen Bruch um, z.B. $0{,}\overline{36}$ mit $a_1 = 0{,}36$ und $q = 0{,}01$ :

0{,}\overline{36} = \frac{0{,}36}{0{,}99} = \frac{36}{99} = \frac{4}{11}

Mit negativem Quotienten $q = -\frac{1}{2}$ springen die Partialsummen hin und her, konvergieren aber trotzdem:

1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \frac{1}{8} + \ldots = \frac{1}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{2}{3}

Typische Fehler

Die Formel bei $|q| \geq 1$ anwenden. Für $q = 2$ ergäbe sie $\frac{1}{1 - 2} = -1$ für $1 + 2 + 4 + \ldots$ , obwohl die Reihe gegen unendlich geht.
Mit dem falschen ersten Glied rechnen. Im Zähler steht das erste tatsächlich addierte Glied: Bei $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \ldots$ ist das $\frac{1}{2}$ , nicht $1$ .
Bei negativem $q$ das Vorzeichen im Nenner falsch auflösen: $1 - (-\frac{1}{2}) = \frac{3}{2}$ .

Unendliche geometrische Reihe