Wurzelkriterium

Studium

L = \limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} < 1 \;\Rightarrow\; \sum_{n=1}^{\infty} a_n \text{ konvergiert absolut}

$a_n$: n-tes Glied der Reihe
$L$: Limes superior der n-ten Wurzeln aus den Beträgen
$n$: Index der Glieder

Ist der Limes superior von ⁿ√|aₙ| kleiner als 1, konvergiert die Reihe absolut; ist er größer als 1, divergiert sie.

Erklärung

Das Wurzelkriterium vergleicht die Reihe ebenfalls mit einer geometrischen Reihe, aber über die $n$ -te Wurzel der Glieder:

$L < 1$ : Die Reihe konvergiert absolut.
$L > 1$ : Die Reihe divergiert, weil unendlich viele Glieder mindestens den Betrag $1$ haben.
$L = 1$ : Keine Aussage möglich.

Existiert der Grenzwert $\lim \sqrt[n]{|a_n|}$ , kann man ihn statt des Limes superior verwenden.

Das Wurzelkriterium ist stärker als das Quotientenkriterium: Liefert das Quotientenkriterium einen Grenzwert $L \neq 1$ , hat das Wurzelkriterium denselben Grenzwert und entscheidet genauso. Umgekehrt gibt es Reihen, bei denen nur das Wurzelkriterium hilft. Bequem ist es vor allem, wenn $a_n$ die Form $(\ldots)^n$ hat. Mit der Formel von Cauchy-Hadamard $r = \frac{1}{\limsup \sqrt[n]{|c_n|}}$ bestimmt es den Konvergenzradius einer Potenzreihe $\sum c_n x^n$ .

Nützlich ist der Grenzwert $\sqrt[n]{n} \to 1$ , ebenso $\sqrt[n]{n^k} \to 1$ für festes $k$ .

Beispiele

$\sum \left(\frac{n}{2n + 1}\right)^n$ : Die $n$ -te Wurzel hebt die Potenz auf,

\sqrt[n]{\left(\frac{n}{2n + 1}\right)^n} = \frac{n}{2n + 1} \to \frac{1}{2} < 1

Die Reihe konvergiert absolut.

$\sum \frac{n^2}{3^n}$ : Wegen $\sqrt[n]{n^2} \to 1$ gilt

\sqrt[n]{\frac{n^2}{3^n}} = \frac{\sqrt[n]{n^2}}{3} \to \frac{1}{3} < 1

Die Reihe konvergiert, ihr Wert ist $1{,}5$ . Bei $n = 1000$ ist die Wurzel erst bei etwa $0{,}3380$ , der Grenzwert wird langsam erreicht.

$\sum 2^{-n + (-1)^n}$ : Der Quotient aufeinanderfolgender Glieder springt zwischen $2$ und $\frac{1}{8}$ hin und her, das Quotientenkriterium entscheidet nicht. Die Wurzel ist $2^{-1 + (-1)^n / n} \to \frac{1}{2}$ , also konvergiert die Reihe.

Typische Fehler

Aus $L = 1$ eine Aussage ableiten. Für $\sum \frac{1}{n}$ und $\sum \frac{1}{n^2}$ ist $L = 1$ , die eine divergiert, die andere konvergiert.
Den Betrag vergessen, z.B. bei alternierenden Gliedern $(-1)^n b_n$ .
$\sqrt[n]{n} \to 0$ annehmen. Richtig ist $\sqrt[n]{n} \to 1$ .
Aus $\sqrt[n]{|a_n|} < 1$ für alle $n$ auf Konvergenz schließen. Der Limes superior muss echt kleiner als $1$ sein.

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