Potenzreihe des Kosinus

Studium

\cos x = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots

Voraussetzung: $x \in \mathbb{R}$ $im Bogenmaß$

$x$: reelle Zahl, Winkel im Bogenmaß
$n$: Summationsindex

Der Kosinus ist die alternierende Reihe der geraden Potenzen xⁿ geteilt durch n!; sie konvergiert für jedes reelle x.

Erklärung

Die Kosinusreihe ist die Taylorreihe von $\cos$ um $0$ . Die Ableitungen an der Stelle $0$ sind $1, 0, -1, 0, \ldots$ , deshalb treten nur gerade Potenzen auf, mit wechselndem Vorzeichen. Das passt dazu, dass $\cos$ eine gerade Funktion ist.

Die Reihe konvergiert für alle reellen $x$ . Man erhält sie auch, indem man die Sinusreihe gliedweise ableitet.

Wichtige Näherungen für kleine $x$ :

$\cos x \approx 1 - \frac{x^2}{2}$ , also $1 - \cos x \approx \frac{x^2}{2}$ .
Daraus folgt der Grenzwert $\frac{1 - \cos x}{x^2} \to \frac{1}{2}$ für $x \to 0$ . Genauer ist $\frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2} - \frac{x^2}{24} + \ldots$

Für $|x| \leq 1$ fallen die Glieder betragsmäßig, und der Fehler beim Abbrechen ist höchstens das erste weggelassene Glied.

Beispiele

$\cos 0{,}5$ mit drei Gliedern:

\cos 0{,}5 \approx 1 - \frac{0{,}25}{2} + \frac{0{,}0625}{24} \approx 0{,}877604

Der genaue Wert ist $0{,}877583$ . Der Fehler ist kleiner als das nächste Glied $\frac{0{,}5^6}{720} \approx 0{,}000022$ .

Für $x = 0{,}01$ ist $\frac{1 - \cos 0{,}01}{0{,}01^2} \approx 0{,}499996$ , in Übereinstimmung mit $\frac{1}{2} - \frac{0{,}0001}{24}$ .

Typische Fehler

Mit $x$ statt mit $1$ beginnen. Das konstante Glied ist $1$ , weil $\cos 0 = 1$ ist; mit $x$ beginnt die Sinusreihe.
Ungerade Fakultäten verwenden: Zu $x^4$ gehört $4! = 24$ , nicht $3!$ oder $5!$ .
Den Winkel in Grad einsetzen. Die Reihe gilt nur im Bogenmaß.

Potenzreihe des Kosinus