Binomische Reihe

Studium

(1 + x)^{\alpha} = \sum_{k=0}^{\infty} \binom{\alpha}{k} x^k \quad\text{mit}\quad \binom{\alpha}{k} = \frac{\alpha(\alpha - 1)\cdots(\alpha - k + 1)}{k!}

Voraussetzung: $\alpha \in \mathbb{R},$ $|x| < 1$

$x$: reelle Zahl mit |x| < 1
$\alpha$: beliebiger reeller Exponent
$k$: Summationsindex
$\binom{\alpha}{k}$: verallgemeinerter Binomialkoeffizient, Produkt aus k Faktoren durch k!

Für |x| < 1 und beliebiges reelles α ist (1 + x)^α eine Potenzreihe mit verallgemeinerten Binomialkoeffizienten.

Erklärung

Die binomische Reihe verallgemeinert den binomischen Lehrsatz auf beliebige reelle Exponenten. Der verallgemeinerte Binomialkoeffizient wird wie gewohnt als Produkt geschrieben, nur dass $\alpha$ keine natürliche Zahl sein muss:

\binom{\alpha}{0} = 1,\quad \binom{\alpha}{1} = \alpha,\quad \binom{\alpha}{2} = \frac{\alpha(\alpha - 1)}{2},\quad \binom{\alpha}{3} = \frac{\alpha(\alpha - 1)(\alpha - 2)}{6}

Ist $\alpha \in \mathbb{N}_0$ , wird ab $k = \alpha + 1$ jeder Koeffizient $0$ . Die Reihe bricht ab, und es bleibt der binomische Lehrsatz. Dann gilt die Formel für alle $x$ .
Sonst ist der Konvergenzradius $1$ . Am Rand $|x| = 1$ hängt die Konvergenz von $\alpha$ ab.

Die ersten beiden Glieder liefern die oft benutzte lineare Näherung $(1 + x)^\alpha \approx 1 + \alpha x$ für kleine $|x|$ .

Beispiele

Wurzel, $\alpha = \frac{1}{2}$ : Die Koeffizienten sind $1, \frac{1}{2}, -\frac{1}{8}, \frac{1}{16}, \ldots$ , also

\sqrt{1 + x} = 1 + \frac{x}{2} - \frac{x^2}{8} + \frac{x^3}{16} - \cdots

Für $x = 0{,}1$ : $\sqrt{1{,}1} \approx 1 + 0{,}05 - 0{,}00125 + 0{,}0000625 = 1{,}0488125$ . Der genaue Wert ist $1{,}0488088\ldots$

$\alpha = -1$ : Alle Koeffizienten sind $(-1)^k$ , und es entsteht die geometrische Reihe $\frac{1}{1 + x} = 1 - x + x^2 - x^3 + \cdots$

Relativistischer Faktor, $\alpha = -\frac{1}{2}$ und $x = -\frac{v^2}{c^2}$ : $\frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} \approx 1 + \frac{v^2}{2c^2}$ . Für $\frac{v^2}{c^2} = 0{,}01$ ergibt die Näherung $1{,}005$ , genau ist es $1{,}005038$ .

Typische Fehler

Den Binomialkoeffizienten wie bei natürlichen Zahlen über $\frac{\alpha!}{k!\,(\alpha - k)!}$ berechnen wollen. $\binom{1/2}{2}$ ist das Produkt $\frac{\frac{1}{2} \cdot (-\frac{1}{2})}{2} = -\frac{1}{8}$ , eine Fakultät von $\frac{1}{2}$ kommt nicht vor.
Die Reihe für $|x| \geq 1$ verwenden. $\sqrt{3} = \sqrt{1 + 2}$ lässt sich so nicht berechnen.
Die Vorzeichen falsch übernehmen. Bei $\alpha = \frac{1}{2}$ werden die Faktoren $\alpha - 1, \alpha - 2, \ldots$ negativ, deshalb wechseln die Vorzeichen ab dem zweiten Glied.

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