Quotientenkriterium

Studium

L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| < 1 \;\Rightarrow\; \sum_{n=1}^{\infty} a_n \text{ konvergiert absolut}

Voraussetzung: $a_n \neq 0$ $für alle hinreichend großen$ $n,$ $der Grenzwert$ $L$ $existiert$

$a_n$: n-tes Glied der Reihe
$L$: Grenzwert der Beträge aufeinanderfolgender Quotienten
$n$: Index der Glieder

Ist der Grenzwert von |aₙ₊₁ / aₙ| kleiner als 1, konvergiert die Reihe absolut; ist er größer als 1, divergiert sie.

Erklärung

Das Quotientenkriterium vergleicht eine Reihe mit einer geometrischen Reihe. Man betrachtet den Betrag des Quotienten zweier aufeinanderfolgender Glieder:

$L < 1$ : Die Reihe konvergiert absolut (und damit auch im gewöhnlichen Sinn).
$L > 1$ (auch $L = \infty$ ): Die Reihe divergiert, weil die Glieder keine Nullfolge bilden.
$L = 1$ : Keine Aussage möglich. Dann braucht man ein anderes Kriterium.

Existiert der Grenzwert nicht, hilft die allgemeinere Form: Gibt es ein $q < 1$ mit $\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| \leq q$ für alle $n$ ab einem Index $N$ , konvergiert die Reihe absolut; gilt $\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| \geq 1$ ab einem Index $N$ , divergiert sie. Dabei reicht $\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| < 1$ allein nicht, die Quotienten müssen von $1$ weg beschränkt bleiben. Gleichwertig formuliert man mit dem Limes superior $\limsup \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| < 1$ .

Das Kriterium eignet sich besonders für Glieder mit Fakultäten und Potenzen $c^n$ , weil sich diese im Quotienten stark kürzen. Es ist das übliche Werkzeug, um den Konvergenzradius einer Potenzreihe zu bestimmen.

Beispiele

$\sum \frac{n}{2^n}$ : Der Quotient ist

\frac{(n + 1) / 2^{n+1}}{n / 2^n} = \frac{n + 1}{2n} \to \frac{1}{2} < 1

Die Reihe konvergiert (ihr Wert ist $2$ ). Für $n = 1000$ ist der Quotient schon $0{,}5005$ .

$\sum \frac{2^n}{n!}$ : Der Quotient $\frac{2}{n + 1}$ geht gegen $0$ , die Reihe konvergiert. Ihr Wert ist $e^2 - 1$ .

$\sum \frac{n!}{n^n}$ : Nach Kürzen bleibt

\frac{(n + 1)! \, / \, (n + 1)^{n+1}}{n! \, / \, n^n} = \left( \frac{n}{n + 1} \right)^n \to \frac{1}{e} < 1

Die Reihe konvergiert.

Grenzfall: Für $\sum \frac{1}{n}$ ist der Quotient $\frac{n}{n + 1}$ , für $\sum \frac{1}{n^2}$ ist er $\left(\frac{n}{n + 1}\right)^2$ . Beide gehen gegen $1$ , aber die erste Reihe divergiert und die zweite konvergiert.

Typische Fehler

Aus $L = 1$ auf Divergenz oder Konvergenz schließen. Das Kriterium ist dann unentschieden.
Nur $\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| < 1$ für alle $n$ prüfen. Bei der harmonischen Reihe gilt das auch, sie divergiert trotzdem.
Den Quotienten falsch herum bilden: $\frac{a_n}{a_{n+1}}$ statt $\frac{a_{n+1}}{a_n}$ . Dann kehren sich die Aussagen um.
Bei Fakultäten falsch kürzen: $\frac{(n + 1)!}{n!} = n + 1$ , nicht $n$ .

Quotientenkriterium