Fourierreihe

Erklärung

Die Fourierreihe zerlegt eine periodische Funktion in harmonische Schwingungen: eine Grundschwingung mit der Kreisfrequenz $\omega = \frac{2\pi}{T}$ und Oberschwingungen mit den Frequenzen $2\omega, 3\omega, \ldots$ Der konstante Term $\frac{a_0}{2}$ ist der Mittelwert von $f$ über eine Periode. Die Koeffizienten berechnet man mit den Formeln für die Fourierkoeffizienten.

Zur Konvergenz (Satz von Dirichlet): Ist $f$ stückweise stetig differenzierbar (stückweise $C^1$), konvergiert die Reihe an jeder Stetigkeitsstelle gegen $f(x)$. An einer Sprungstelle konvergiert sie gegen den Mittelwert der beiden einseitigen Grenzwerte.

Symmetrien sparen Arbeit:

• $f$ gerade: alle $b_n = 0$, es bleibt eine reine Kosinusreihe.
• $f$ ungerade: alle $a_n = 0$, es bleibt eine reine Sinusreihe.

In der komplexen Form schreibt man $f(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{in\omega x}$. Anwendungen sind Signalverarbeitung, Akustik (Klangfarbe), Wärmeleitung und Schwingungen.

Beispiele

Rechteckschwingung mit $T = 2\pi$: $f(x) = 1$ für $0 < x < \pi$ und $f(x) = -1$ für $-\pi < x < 0$. Die Funktion ist ungerade, und nur ungerade $n$ tragen bei:

Bei $x = \frac{\pi}{2}$ ist $f = 1$, und es entsteht die Leibniz-Reihe $1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \cdots = \frac{\pi}{4}$. Bei $x = 0$ springt $f$ von $-1$ auf $1$; die Reihe liefert dort $0$, den Mittelwert.

Sägezahn $f(x) = x$ auf $(-\pi, \pi)$, periodisch fortgesetzt:

Bei $x = \frac{\pi}{2}$ ergibt sich wieder die Leibniz-Reihe, mal $2$, also $\frac{\pi}{2}$.

Typische Fehler

• $a_0$ statt $\frac{a_0}{2}$ als konstantes Glied schreiben. Mit der üblichen Formel für $a_0$ gehört der Faktor $\frac{1}{2}$ dazu; manche Bücher stecken ihn in die Definition von $a_0$, dann fehlt er hier.
• An einer Sprungstelle den Funktionswert erwarten. Die Reihe der Rechteckschwingung liefert bei $0$ den Wert $0$, nicht $1$ oder $-1$.
• Auf gleichmäßige Konvergenz hoffen. Neben Sprüngen schießen die Teilsummen um etwa $9\,\%$ der Sprunghöhe über (Gibbs-Phänomen): Bei der Rechteckschwingung erreichen sie etwa $1{,}18$ statt $1$, egal wie viele Glieder man nimmt.
• $\omega$ und $T$ verwechseln. Bei $T = 1$ ist $\omega = 2\pi$, die Terme heißen dann $\cos(2\pi n x)$.