Summe einer arithmetischen Folge

Oberstufe

s_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n) = n \cdot a_1 + \frac{n(n - 1)}{2} \cdot d

Voraussetzung: $n \in \mathbb{N},$ $n \geq 1$

$s_n$: Summe der ersten n Glieder (Partialsumme)
$n$: Anzahl der addierten Glieder
$a_1$: erstes Glied
$a_n$: letztes addiertes Glied, a₁ + (n − 1) · d
$d$: konstante Differenz der Folge

Die Summe der ersten n Glieder einer arithmetischen Folge ist n mal der Mittelwert von erstem und letztem Glied.

Erklärung

Addiert man die ersten $n$ Glieder einer arithmetischen Folge, erhält man die Partialsumme $s_n = a_1 + a_2 + \ldots + a_n$ . Statt alle Glieder einzeln zu addieren, nutzt man: Das erste und das letzte Glied, das zweite und das vorletzte usw. haben immer dieselbe Summe $a_1 + a_n$ . Davon gibt es $\frac{n}{2}$ Paare.

Man kann sich die Formel auch so merken: Anzahl der Glieder mal Mittelwert aus erstem und letztem Glied.

Die zweite Form entsteht, wenn man $a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d$ einsetzt. Sie ist praktisch, wenn das letzte Glied nicht bekannt ist.

Herleitung

Man schreibt die Summe einmal vorwärts und einmal rückwärts untereinander:

\begin{aligned} s_n &= a_1 + a_2 + \ldots + a_n \\ s_n &= a_n + a_{n-1} + \ldots + a_1 \end{aligned}

Jede Spalte ergibt $a_1 + a_n$ , denn wenn man im oberen Summanden $d$ dazuzählt, zieht man im unteren $d$ ab. Es gibt $n$ Spalten, also $2 s_n = n \cdot (a_1 + a_n)$ .

Beispiele

Die Summe der ersten $20$ ungeraden Zahlen: $a_1 = 1$ , $d = 2$ , $a_{20} = 1 + 19 \cdot 2 = 39$ .

s_{20} = \frac{20}{2} \cdot (1 + 39) = 400

Ein Saal hat $25$ Sitzreihen. In der ersten Reihe stehen $18$ Stühle, jede weitere Reihe hat $2$ mehr. Die letzte Reihe hat $18 + 24 \cdot 2 = 66$ Stühle, insgesamt sind es

s_{25} = \frac{25}{2} \cdot (18 + 66) = 1050

Summe aller Vielfachen von $7$ zwischen $1$ und $500$ : Das größte ist $497 = 71 \cdot 7$ , also sind es $71$ Glieder.

s_{71} = \frac{71}{2} \cdot (7 + 497) = 17892

Typische Fehler

Die Anzahl der Glieder falsch bestimmen. Von $7$ bis $497$ in Siebenerschritten sind es $71$ Zahlen, nicht $70$ und nicht $497 - 7$ .
Für $a_n$ das Glied nach dem letzten einsetzen.
In der zweiten Form $n^2$ statt $n(n - 1)$ schreiben.
Die Formel auf Folgen anwenden, die nicht arithmetisch sind, z.B. Quadratzahlen.

Summe einer arithmetischen Folge