Summe der Quadratzahlen

Oberstufe

\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}

Voraussetzung: $n \in \mathbb{N},$ $n \geq 1$

$n$: Anzahl der Summanden, letzte quadrierte Zahl
$k$: Summationsindex, läuft von 1 bis n

Die Summe der Quadratzahlen 1² + 2² + … + n² ist n(n + 1)(2n + 1) / 6.

Erklärung

Die Formel gibt die Summe der ersten $n$ Quadratzahlen $1 + 4 + 9 + \ldots + n^2$ an. Das Ergebnis ist ein Polynom dritten Grades in $n$ . Für große $n$ ist die Summe ungefähr $\frac{n^3}{3}$ , was zum Integral $\int_0^n x^2 \, dx$ passt.

Die Formel braucht man z.B. beim Berechnen von Ober- und Untersummen für $\int x^2 \, dx$ und als Standardbeispiel für die vollständige Induktion.

Herleitung

Mit vollständiger Induktion: Für $n = 1$ steht links $1$ und rechts $\frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{6} = 1$ . Gilt die Formel für ein $n$ , addiert man $(n + 1)^2$ :

\frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} + (n + 1)^2 = \frac{(n + 1)\left(2n^2 + 7n + 6\right)}{6} = \frac{(n + 1)(n + 2)(2n + 3)}{6}

Das ist genau die Formel für $n + 1$ .

Beispiele

Für $n = 10$ :

1^2 + 2^2 + \ldots + 10^2 = \frac{10 \cdot 11 \cdot 21}{6} = 385

Für $n = 24$ ergibt sich überraschend wieder eine Quadratzahl:

\sum_{k=1}^{24} k^2 = \frac{24 \cdot 25 \cdot 49}{6} = 4900 = 70^2

Die Quadrate von $11$ bis $20$ : Summe bis $20$ minus Summe bis $10$ .

\frac{20 \cdot 21 \cdot 41}{6} - 385 = 2870 - 385 = 2485

Typische Fehler

Die Summe der Quadrate mit dem Quadrat der Summe verwechseln. $(1 + 2 + \ldots + 10)^2 = 55^2 = 3025$ , aber $1^2 + \ldots + 10^2 = 385$ .
$2n - 1$ statt $2n + 1$ einsetzen.
Den Nenner $6$ vergessen oder durch $2$ teilen wie bei der Gaußschen Summenformel.

Summe der Quadratzahlen