Potenzreihe des Sinus

Erklärung

Die Sinusreihe ist die Taylorreihe von $\sin$ um $0$. Die Ableitungen von $\sin$ wiederholen sich mit Periode $4$: $\sin, \cos, -\sin, -\cos$. An der Stelle $0$ ergibt das $0, 1, 0, -1, \ldots$. Deshalb kommen nur ungerade Potenzen vor, mit wechselndem Vorzeichen.

Die Reihe konvergiert für jedes reelle $x$ (Konvergenzradius $\infty$), weil die Fakultät im Nenner schneller wächst als jede Potenz. Sie spiegelt wider, dass $\sin$ eine ungerade Funktion ist.

Für kleine $x$ liefern schon die ersten Glieder gute Näherungen:

• $\sin x \approx x$ (Kleinwinkelnäherung, z.B. beim Fadenpendel).
• $\sin x \approx x - \frac{x^3}{6}$ für etwas größere Winkel.

Weil die Reihe für $|x| \leq 1$ alternierend mit fallenden Gliedern ist, ist der Fehler beim Abbrechen höchstens so groß wie das erste weggelassene Glied.

Leitet man die Reihe gliedweise ab, erhält man die Kosinusreihe. Mit der Eulerschen Formel $e^{ix} = \cos x + i \sin x$ ergibt sich die Sinusreihe als Imaginärteil der Exponentialreihe.

Beispiele

$\sin 0{,}1 \approx 0{,}1 - \frac{0{,}001}{6} \approx 0{,}0998333$. Der genaue Wert ist $0{,}0998334\ldots$

$\sin 1$ mit drei Gliedern:

Der genaue Wert ist etwa $0{,}8415$. Der Fehler liegt unter dem nächsten Glied $\frac{1}{7!} = \frac{1}{5040} \approx 0{,}000198$.

Typische Fehler

• Den Winkel in Grad einsetzen. $\sin 30° = 0{,}5$ erhält man nur mit $x = \frac{\pi}{6}$, nicht mit $x = 30$.
• Potenz und Fakultät nicht zusammenpassen lassen: Zu $x^5$ gehört $5!$, nicht $4!$ oder $6!$.
• Gerade Potenzen mitnehmen oder die Vorzeichen nicht abwechseln lassen. Die Reihe mit lauter Pluszeichen ist die Reihe von $\sinh x$.