Taylorreihe

Erklärung

Die Taylorreihe entwickelt eine Funktion um einen Entwicklungspunkt $x_0$ in eine Potenzreihe. Dafür muss $f$ in einer Umgebung von $x_0$ beliebig oft differenzierbar sein ($f \in C^\infty$). Die Koeffizienten werden so gewählt, dass alle Ableitungen der Reihe in $x_0$ mit denen von $f$ übereinstimmen. Bricht man nach dem Glied mit $(x - x_0)^n$ ab, erhält man das Taylorpolynom $T_n$ vom Grad $n$. Für $n = 1$ ist das die Tangente.

Die Differenz $R_n(x) = f(x) - T_n(x)$ heißt Restglied. In der Lagrange-Form gilt

für ein $\xi$ zwischen $x_0$ und $x$ (falls $f$ dort $(n + 1)$-mal stetig differenzierbar ist). Die Taylorreihe stellt $f$ genau dann an der Stelle $x$ dar, wenn $R_n(x) \to 0$ für $n \to \infty$.

Das ist nicht selbstverständlich: Auch eine beliebig oft differenzierbare Funktion kann eine Taylorreihe haben, die gegen eine andere Funktion konvergiert. Standardbeispiel ist $f(x) = e^{-1/x^2}$ mit $f(0) = 0$; alle Ableitungen in $0$ verschwinden, die Reihe ist die Nullfunktion. Außerdem konvergiert die Reihe nur innerhalb des Konvergenzradius, z.B. für $\ln(1 + x)$ um $0$ nur für $-1 < x \leq 1$. Auch innerhalb des Konvergenzradius ist die Gleichheit $f(x) = \sum \ldots$ nicht automatisch erfüllt, sie gilt genau dort, wo das Restglied gegen $0$ geht.

Für $x_0 = 0$ spricht man auch von der MacLaurin-Reihe.

Beispiele

Für $\sin x$ um $x_0 = 0$ sind die Ableitungen in $0$ abwechselnd $0, 1, 0, -1, \ldots$. Also

Der genaue Wert ist $\sin 0{,}5 \approx 0{,}479426$.

Für $f(x) = \sqrt{x}$ um $x_0 = 4$: $f(4) = 2$, $f'(4) = \frac{1}{4}$, $f''(4) = -\frac{1}{32}$. Das Taylorpolynom zweiten Grades ist

Der genaue Wert ist $\sqrt{4{,}2} \approx 2{,}049390$.

Für $\ln(1 + x)$ um $0$ gilt $\ln(1 + x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \ldots$ Mit drei Gliedern ist $\ln 1{,}1 \approx 0{,}095333$, genau ist $\ln 1{,}1 \approx 0{,}095310$.

Typische Fehler

• Die Fakultät vergessen: Der Koeffizient ist $\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}$, nicht $f^{(k)}(x_0)$. Im zweiten Beispiel steht deshalb $-\frac{1}{64}$ und nicht $-\frac{1}{32}$.
• $x^k$ statt $(x - x_0)^k$ schreiben, wenn $x_0 \neq 0$ ist.
• Die Ableitungen an der Stelle $x$ statt an der Stelle $x_0$ auswerten.
• Annehmen, dass jede beliebig oft differenzierbare Funktion durch ihre Taylorreihe dargestellt wird, oder die Reihe außerhalb des Konvergenzbereichs benutzen.