Cauchy-Produkt

Studium

\left( \sum_{n=0}^{\infty} a_n \right) \cdot \left( \sum_{n=0}^{\infty} b_n \right) = \sum_{n=0}^{\infty} c_n \quad\text{mit}\quad c_n = \sum_{k=0}^{n} a_k\, b_{n-k}

Voraussetzung: $\sum a_n$ $und$ $\sum b_n$ $konvergent, mindestens eine davon absolut konvergent$

$a_n, b_n$: Glieder der beiden Reihen, Index ab 0
$c_n$: Glieder der Produktreihe
$k$: Laufindex innerhalb von cₙ
$n$: Index der Reihenglieder

Das Produkt zweier absolut konvergenter Reihen ist die Reihe mit den Gliedern cₙ = a₀bₙ + a₁bₙ₋₁ + … + aₙb₀.

Erklärung

Multipliziert man zwei Reihen „jeder mit jedem“, entstehen alle Produkte $a_k b_m$ . Das Cauchy-Produkt ordnet sie nach der Indexsumme $k + m = n$ . So passt es genau zu Potenzreihen: Bei $\sum a_n x^n \cdot \sum b_n x^n$ sammelt $c_n$ alle Beiträge zu $x^n$ .

Die ersten Glieder:

c_0 = a_0 b_0,\quad c_1 = a_0 b_1 + a_1 b_0,\quad c_2 = a_0 b_2 + a_1 b_1 + a_2 b_0

Sind beide Reihen absolut konvergent, konvergiert das Cauchy-Produkt absolut gegen das Produkt der Werte. Nach dem Satz von Mertens genügt es, wenn eine der Reihen absolut und die andere nur konvergiert (dann konvergiert das Produkt, nicht unbedingt absolut). Sind beide nur bedingt konvergent, kann das Produkt divergieren.

Beispiele

Geometrische Reihe mit sich selbst, $|x| < 1$ : Alle $a_k = b_k = 1$ (als Koeffizienten von $x^k$ ), also $c_n = n + 1$ :

\frac{1}{(1 - x)^2} = \sum_{n=0}^{\infty} (n + 1)\,x^n

Für $x = \frac{1}{2}$ ergibt sich $\sum (n + 1) \cdot 0{,}5^n = 4$ .

Exponentialreihe: Mit $a_k = \frac{x^k}{k!}$ und $b_k = \frac{y^k}{k!}$ ist nach dem binomischen Lehrsatz

c_n = \sum_{k=0}^{n} \frac{x^k}{k!} \cdot \frac{y^{n-k}}{(n-k)!} = \frac{(x + y)^n}{n!}

Das beweist $e^x \cdot e^y = e^{x + y}$ .

Typische Fehler

Gliedweise multiplizieren: $\sum a_n \cdot \sum b_n \neq \sum a_n b_n$ . Schon $(1 + 1) \cdot (1 + 1) = 4$ , aber $1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 = 2$ .
Die Voraussetzung übergehen. Für $a_n = b_n = \frac{(-1)^n}{\sqrt{n + 1}}$ konvergieren beide Reihen nach Leibniz, aber $|c_n| \geq 1$ für alle $n$ , z.B. $|c_2| = \frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{1}{2} + \frac{1}{\sqrt{3}} \approx 1{,}6547$ . Das Produkt divergiert.
Die Indizes falsch verschieben. In $c_n$ addieren sich die Indizes immer zu $n$ ; bei Reihen ab Index $1$ muss man vorher umindizieren.

Cauchy-Produkt

Cauchy-Produkt

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Beispiele

Typische Fehler

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