Harmonische Reihe

Studium

\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \ldots = \infty

$k$: Summationsindex, durchläuft die natürlichen Zahlen ab 1

Die harmonische Reihe 1 + 1/2 + 1/3 + … divergiert, obwohl ihre Glieder gegen 0 gehen.

Erklärung

Die harmonische Reihe ist das Standardbeispiel dafür, dass Glieder, die gegen $0$ gehen, nicht für Konvergenz reichen. Die Partialsummen $H_n = 1 + \frac{1}{2} + \ldots + \frac{1}{n}$ heißen harmonische Zahlen. Sie wachsen über jede Grenze, allerdings extrem langsam, ungefähr wie der natürliche Logarithmus:

H_n \approx \ln n + \gamma, \qquad \gamma \approx 0{,}5772

Dabei ist $\gamma$ die Euler-Mascheroni-Konstante; genauer gilt $H_n - \ln n \to \gamma$ .

Verwandte Reihen:

$\sum \frac{1}{k^s}$ konvergiert genau für $s > 1$ , z.B. $\sum \frac{1}{k^2} = \frac{\pi^2}{6}$ .
Die alternierende harmonische Reihe $1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \ldots$ konvergiert nach dem Leibniz-Kriterium, und zwar gegen $\ln 2$ .

Quotienten- und Wurzelkriterium liefern hier den Grenzwert $1$ und damit keine Entscheidung.

Herleitung

Man fasst die Glieder in Gruppen zusammen, deren Länge sich jeweils verdoppelt:

1 + \frac{1}{2} + \underbrace{\frac{1}{3} + \frac{1}{4}}_{\geq \frac{2}{4} = \frac{1}{2}} + \underbrace{\frac{1}{5} + \ldots + \frac{1}{8}}_{\geq \frac{4}{8} = \frac{1}{2}} + \underbrace{\frac{1}{9} + \ldots + \frac{1}{16}}_{\geq \frac{8}{16} = \frac{1}{2}} + \ldots

Jede Gruppe von $\frac{1}{2^m + 1}$ bis $\frac{1}{2^{m+1}}$ hat $2^m$ Glieder, jedes mindestens $\frac{1}{2^{m+1}}$ , und ist damit mindestens $\frac{1}{2}$ . Also gilt $H_{2^m} \geq 1 + \frac{m}{2}$ , und das wächst über jede Grenze.

Beispiele

Die ersten Partialsummen:

H_4 = \frac{25}{12}, \qquad H_8 = \frac{761}{280} \approx 2{,}7179 \geq 1 + \frac{3}{2}, \qquad H_{10} \approx 2{,}929

Für $n = 1000$ liefern die Summe und die Näherung $\ln 1000 + 0{,}5772$ beide etwa $7{,}485$ .

Damit $H_n$ größer als $20$ wird, braucht man nach der Näherung etwa $e^{20 - 0{,}5772} \approx 2{,}7 \cdot 10^8$ Glieder.

Typische Fehler

Aus $\frac{1}{k} \to 0$ auf Konvergenz schließen. Dass die Glieder eine Nullfolge bilden, ist nur notwendig, nicht hinreichend.
Am Computer „Konvergenz beobachten“, weil die Partialsummen kaum noch wachsen. Das Wachstum ist logarithmisch, aber unbeschränkt.
Die harmonische Reihe mit $\sum \frac{1}{k^2}$ verwechseln, die konvergiert.
Das Quotientenkriterium für einen Divergenzbeweis halten: Der Grenzwert $1$ entscheidet nichts.

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