Mehrdimensionale Analysis

Divergenz

Studium

\operatorname{div} \vec{F} = \nabla \cdot \vec{F} = \frac{\partial F_1}{\partial x} + \frac{\partial F_2}{\partial y} + \frac{\partial F_3}{\partial z}

Voraussetzung: $\vec{F} = (F_1, F_2, F_3)^{T}$ $partiell differenzierbares Vektorfeld auf$ $D \subseteq \mathbb{R}^3$

$\vec{F}$: Vektorfeld, z.B. ein Strömungs- oder Kraftfeld
$F_1, F_2, F_3$: Komponenten des Vektorfelds in x-, y- und z-Richtung
$\nabla$: Nabla-Operator, der Vektor der partiellen Ableitungen
$\operatorname{div} \vec{F}$: Divergenz, ein Skalarfeld

Die Divergenz eines Vektorfelds ist die Summe der partiellen Ableitungen seiner Komponenten und misst die Quellstärke.

Doppelintegral und Satz von Fubini

Studium

\iint_R f(x, y)\, dA = \int_a^b \left( \int_c^d f(x, y)\, dy \right) dx = \int_c^d \left( \int_a^b f(x, y)\, dx \right) dy

Voraussetzung: $R = [a, b] \times [c, d],$ $f$ $stetig auf$ $R$

$R$: Rechteck, über das integriert wird
$f(x, y)$: Integrand, eine Funktion zweier Variablen
$dA$: Flächenelement, hier dA = dx dy
$a, b$: Grenzen in x-Richtung
$c, d$: Grenzen in y-Richtung

Ein Doppelintegral über ein Rechteck berechnet man als zwei einfache Integrale nacheinander, in beliebiger Reihenfolge.

Dreifachintegral

Studium

\iiint_Q f\, dV = \int_a^b \int_c^d \int_p^q f(x, y, z)\, dz\, dy\, dx

Voraussetzung: $Q = [a, b] \times [c, d] \times [p, q],$ $f$ $stetig auf$ $Q$

$Q$: Quader, über den integriert wird
$f(x, y, z)$: Integrand, z.B. eine Dichte
$dV$: Volumenelement, hier dV = dx dy dz
$a, b,\ c, d,\ p, q$: Grenzen in x-, y- und z-Richtung

Ein Dreifachintegral summiert eine Funktion über einen räumlichen Bereich, gerechnet als drei einfache Integrale nacheinander.

Extremstellen bei zwei Variablen

Studium

D = f_{xx} f_{yy} - f_{xy}^2 \quad \begin{cases} D > 0,\ f_{xx} > 0: & \text{lokales Minimum} \\ D > 0,\ f_{xx} < 0: & \text{lokales Maximum} \\ D < 0: & \text{Sattelpunkt} \end{cases}

Voraussetzung: $f$ $zweimal stetig differenzierbar in einer Umgebung von$ $(x_0, y_0),$ $\nabla f(x_0, y_0) = \vec{0},$ $Ableitungen an der Stelle$ $(x_0, y_0)$

$D$: Determinante der Hesse-Matrix im kritischen Punkt
$f_{xx}, f_{yy}$: zweite partielle Ableitungen nach x bzw. nach y
$f_{xy}$: gemischte zweite partielle Ableitung
$(x_0, y_0)$: kritischer Punkt, an dem der Gradient null ist

In einem kritischen Punkt entscheidet die Determinante der Hesse-Matrix, ob ein Minimum, Maximum oder Sattelpunkt vorliegt.

Gradient

Studium

\nabla f(x_1, \ldots, x_n) = \left( \frac{\partial f}{\partial x_1}, \ldots, \frac{\partial f}{\partial x_n} \right)^{T}

Voraussetzung: $f\colon D \subseteq \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ $partiell differenzierbar$

$\nabla f$: Gradient von f, auch grad f geschrieben
$f$: reellwertige Funktion von n Variablen
$x_1, \ldots, x_n$: Variablen von f
$\frac{\partial f}{\partial x_k}$: partielle Ableitung von f nach der k-ten Variablen

Der Gradient fasst alle partiellen Ableitungen zu einem Vektor zusammen, der in Richtung des steilsten Anstiegs zeigt.

Hesse-Matrix

Studium

H_f(x, y) = \begin{pmatrix} f_{xx}(x, y) & f_{xy}(x, y) \\ f_{yx}(x, y) & f_{yy}(x, y) \end{pmatrix}

Voraussetzung: $f$ $zweimal partiell differenzierbar; ist$ $f$ $zweimal stetig differenzierbar, gilt$ $f_{xy} = f_{yx}$

$H_f$: Hesse-Matrix der Funktion f
$f_{xx}, f_{yy}$: zweite partielle Ableitungen nach x bzw. nach y
$f_{xy}, f_{yx}$: gemischte zweite partielle Ableitungen (erst nach x, dann nach y bzw. umgekehrt)

Die Hesse-Matrix enthält alle zweiten partiellen Ableitungen und beschreibt die Krümmung einer Funktion mehrerer Variablen.

Integration in Polarkoordinaten

Studium

\iint_D f(x, y)\, dA = \int_{\varphi_1}^{\varphi_2} \int_{r_1}^{r_2} f(r\cos\varphi,\, r\sin\varphi)\, r\, dr\, d\varphi

Voraussetzung: $D = \{(r\cos\varphi, r\sin\varphi) : r_1 \leq r \leq r_2,\ \varphi_1 \leq \varphi \leq \varphi_2\},$ $0 \leq r_1,$ $\varphi_2 - \varphi_1 \leq 2\pi,$ $f$ $stetig$

$D$: Integrationsbereich, z.B. Kreisscheibe, Kreisring oder Sektor
$r$: Abstand vom Ursprung
$\varphi$: Winkel zur positiven x-Achse
$r\, dr\, d\varphi$: Flächenelement in Polarkoordinaten, der Faktor r ist die Jacobi-Determinante
$r_1, r_2,\ \varphi_1, \varphi_2$: Grenzen für Radius und Winkel

Über kreisförmige Bereiche integriert man in Polarkoordinaten; das Flächenelement dx dy wird dabei zu r dr dφ.

Jacobi-Matrix

Studium

J_f(\vec{x}) = \begin{pmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial f_m}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial f_m}{\partial x_n} \end{pmatrix}

Voraussetzung: $f = (f_1, \ldots, f_m)^{T}\colon D \subseteq \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m,$ $alle$ $f_i$ $partiell differenzierbar$

$J_f(\vec{x})$: Jacobi-Matrix von f an der Stelle x, eine m×n-Matrix
$f_1, \ldots, f_m$: Komponentenfunktionen von f
$x_1, \ldots, x_n$: Variablen
$\frac{\partial f_i}{\partial x_j}$: partielle Ableitung der i-ten Komponente nach der j-ten Variablen

Die Jacobi-Matrix enthält alle ersten partiellen Ableitungen einer vektorwertigen Funktion, Zeile für Zeile pro Komponente.

Kettenregel für mehrere Variablen

Studium

\frac{d}{dt} f\big(x(t), y(t)\big) = \frac{\partial f}{\partial x}\, \dot{x}(t) + \frac{\partial f}{\partial y}\, \dot{y}(t)

Voraussetzung: $x, y$ $differenzierbar in$ $t,$ $f$ $(total) differenzierbar in$ $\big(x(t), y(t)\big)$

$f$: Funktion der zwei Variablen x und y
$x(t), y(t)$: innere Funktionen, z.B. die Koordinaten einer Kurve
$\dot{x}(t), \dot{y}(t)$: Ableitungen der inneren Funktionen nach t
$\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}$: partielle Ableitungen von f, ausgewertet an der Stelle (x(t), y(t))

Die Ableitung von f entlang einer Kurve ist die Summe aus partiellen Ableitungen mal Ableitungen der inneren Funktionen.

Kugelkoordinaten

Studium

x = r\sin\theta\cos\varphi, \quad y = r\sin\theta\sin\varphi, \quad z = r\cos\theta, \qquad dV = r^2 \sin\theta\, dr\, d\theta\, d\varphi

Voraussetzung: $r \geq 0,$ $0 \leq \theta \leq \pi,$ $0 \leq \varphi < 2\pi$

$r$: Abstand des Punkts vom Ursprung
$\theta$: Polarwinkel, gemessen von der positiven z-Achse
$\varphi$: Azimutwinkel in der x-y-Ebene, gemessen von der positiven x-Achse
$x, y, z$: kartesische Koordinaten
$dV$: Volumenelement für Dreifachintegrale

Kugelkoordinaten beschreiben einen Punkt durch Abstand zum Ursprung und zwei Winkel; das Volumenelement ist r² sin θ dr dθ dφ.

Kurvenintegral

Studium

\int_C \vec{F} \cdot d\vec{r} = \int_a^b \vec{F}\big(\vec{r}(t)\big) \cdot \dot{\vec{r}}(t)\, dt

Voraussetzung: $\vec{r}\colon [a, b] \to \mathbb{R}^n$ $stückweise stetig differenzierbare Parametrisierung von$ $C,$ $\vec{F}$ $stetig auf$ $C$

$C$: Kurve, entlang der integriert wird, mit einer Durchlaufrichtung
$\vec{F}$: Vektorfeld, z.B. ein Kraftfeld
$\vec{r}(t)$: Parametrisierung der Kurve für t von a bis b
$\dot{\vec{r}}(t)$: Tangentenvektor, die Ableitung der Parametrisierung nach t

Das Kurvenintegral summiert die Komponente eines Vektorfelds längs einer Kurve, physikalisch die verrichtete Arbeit.

Lagrange-Multiplikatoren

Studium

\nabla f(x_0, y_0) = \lambda\, \nabla g(x_0, y_0), \qquad g(x_0, y_0) = 0

Voraussetzung: $f, g$ $stetig$ $differenzierbar$ $,$ $\nabla g(x_0, y_0) \neq \vec{0}$

$f$: Zielfunktion, deren Extrema gesucht sind
$g$: Funktion der Nebenbedingung g = 0
$\lambda$: Lagrange-Multiplikator, eine zusätzliche Unbekannte
$(x_0, y_0)$: Kandidat für eine Extremstelle unter der Nebenbedingung

Unter einer Nebenbedingung g = 0 kann f nur dort extremal sein, wo die Gradienten von f und g parallel sind.

Laplace-Operator

Studium

\Delta f = \operatorname{div}(\nabla f) = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2}

Voraussetzung: $f\colon D \subseteq \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}$ $zweimal partiell differenzierbar$

$\Delta$: Laplace-Operator, auch als nabla² geschrieben
$f$: Skalarfeld, z.B. Temperatur oder Potential
$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}$: zweite partielle Ableitung nach x, entsprechend für y und z

Der Laplace-Operator summiert die reinen zweiten partiellen Ableitungen; er ist die Divergenz des Gradienten.

Partielle Ableitung

Studium

\frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h,\, y_0) - f(x_0, y_0)}{h}

Voraussetzung: $f\colon D \subseteq \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R},$ $(x_0, y_0)$ $innerer Punkt von$ $D,$ $der Grenzwert existiert$

$f$: Funktion der zwei Variablen x und y
$\frac{\partial f}{\partial x}$: partielle Ableitung von f nach x, auch f_x geschrieben
$(x_0, y_0)$: Stelle, an der abgeleitet wird
$h$: Schrittweite in x-Richtung, die gegen 0 geht

Die partielle Ableitung nach x ist die gewöhnliche Ableitung von f, wenn man alle anderen Variablen festhält.

Richtungsableitung

Studium

\frac{\partial f}{\partial \vec{v}}(\vec{a}) = \nabla f(\vec{a}) \cdot \vec{v}

Voraussetzung: $f$ $in$ $\vec{a}$ $(total)$ $differenzierbar$ $,$ $|\vec{v}| = 1$

$\frac{\partial f}{\partial \vec{v}}(\vec{a})$: Ableitung von f im Punkt a in Richtung v, auch D_v f(a) geschrieben
$\nabla f(\vec{a})$: Gradient von f im Punkt a
$\vec{v}$: Richtung als Einheitsvektor
$\vec{a}$: Punkt, an dem abgeleitet wird

Die Richtungsableitung gibt die Steigung von f in Richtung eines Einheitsvektors an, berechnet als Gradient mal Richtung.

Rotation

Studium

\operatorname{rot} \vec{F} = \nabla \times \vec{F} = \begin{pmatrix} \frac{\partial F_3}{\partial y} - \frac{\partial F_2}{\partial z} \\[4pt] \frac{\partial F_1}{\partial z} - \frac{\partial F_3}{\partial x} \\[4pt] \frac{\partial F_2}{\partial x} - \frac{\partial F_1}{\partial y} \end{pmatrix}

Voraussetzung: $\vec{F} = (F_1, F_2, F_3)^{T}$ $partiell differenzierbares Vektorfeld auf$ $D \subseteq \mathbb{R}^3$

$\vec{F}$: Vektorfeld im Raum
$F_1, F_2, F_3$: Komponenten des Vektorfelds in x-, y- und z-Richtung
$\nabla \times \vec{F}$: Rotation als formales Kreuzprodukt des Nabla-Operators mit F

Die Rotation eines Vektorfelds ist ein Vektorfeld, das Achse und Stärke der lokalen Wirbel angibt.

Satz von Gauß

Studium

\iiint_V \operatorname{div} \vec{F}\, dV = \oiint_{\partial V} \vec{F} \cdot \vec{n}\, dS

Voraussetzung: $V$ $beschränkt$ $,$ $\vec{n}$ $äußere$ $Normale$ $,$ ${\vec{F} \in C^1}$

$V$: räumlicher Bereich, z.B. Kugel oder Quader
$\partial V$: geschlossene Oberfläche von V
$\vec{F}$: Vektorfeld
$\vec{n}$: nach außen zeigender Einheitsnormalenvektor der Oberfläche
$dS$: Flächenelement der Oberfläche
$dV$: Volumenelement

Der Fluss eines Vektorfelds durch eine geschlossene Fläche ist gleich dem Integral seiner Divergenz über das Innere.

Satz von Stokes

Studium

\iint_S (\operatorname{rot} \vec{F}) \cdot \vec{n}\, dS = \oint_{\partial S} \vec{F} \cdot d\vec{r}

Voraussetzung: $S$ $orientierte$ $Fläche$ $,$ $\partial S$ $nach$ $Rechte-Hand-Regel$ $,$ ${\vec{F} \in C^1}$

$S$: Fläche im Raum mit Rand
$\partial S$: Randkurve der Fläche
$\vec{F}$: Vektorfeld
$\operatorname{rot} \vec{F}$: Rotation des Vektorfelds
$\vec{n}$: Einheitsnormalenvektor der Fläche
$dS$: Flächenelement

Die Zirkulation eines Vektorfelds längs einer Randkurve ist gleich dem Fluss seiner Rotation durch die eingeschlossene Fläche.

Tangentialebene

Studium

z = f(x_0, y_0) + f_x(x_0, y_0)\,(x - x_0) + f_y(x_0, y_0)\,(y - y_0)

Voraussetzung: $f$ $in$ $(x_0, y_0)$ $(total) differenzierbar$

$z$: Höhe der Tangentialebene über dem Punkt (x, y)
$(x_0, y_0)$: Berührpunkt in der x-y-Ebene
$f(x_0, y_0)$: Funktionswert im Berührpunkt
$f_x, f_y$: partielle Ableitungen von f nach x bzw. y

Die Tangentialebene berührt den Graphen von f(x, y) in einem Punkt und hat dort dieselben Steigungen in x- und y-Richtung.

Totales Differential

Studium

df = \sum_{k=1}^{n} \frac{\partial f}{\partial x_k}\, dx_k

Voraussetzung: $f$ $(total) differenzierbar, z.B. stetig partiell differenzierbar$

$df$: totales Differential, näherungsweise Änderung des Funktionswerts
$\frac{\partial f}{\partial x_k}$: partielle Ableitung von f nach der k-ten Variablen an der betrachteten Stelle
$dx_k$: kleine Änderung der k-ten Variablen
$n$: Anzahl der Variablen

Das totale Differential schätzt die Änderung von f ab, wenn sich alle Variablen gleichzeitig ein wenig ändern.

Transformationssatz

Studium

\int_{\Phi(U)} f(\vec{x})\, d\vec{x} = \int_U f\big(\Phi(\vec{u})\big)\, \big|\det J_\Phi(\vec{u})\big|\, d\vec{u}

Voraussetzung: $U \subseteq \mathbb{R}^n$ $offen$ $,$ $\Phi\colon U \to \Phi(U)$ $bijektiv, stetig$ $differenzierbar$ $,$ $\det J_\Phi \neq 0$ $auf$ $U,$ $f$ $integrierbar über$ $\Phi(U)$

$\Phi$: Transformation, die neue Koordinaten u auf alte Koordinaten x abbildet
$U$: Integrationsbereich in den neuen Koordinaten
$\Phi(U)$: Integrationsbereich in den ursprünglichen Koordinaten
$J_\Phi$: Jacobi-Matrix der Transformation
$f$: Integrand

Beim Koordinatenwechsel in Mehrfachintegralen kommt der Betrag der Jacobi-Determinante als Korrekturfaktor hinzu.

Zylinderkoordinaten

Studium

x = r\cos\varphi, \quad y = r\sin\varphi, \quad z = z, \qquad dV = r\, dr\, d\varphi\, dz

Voraussetzung: $r \geq 0,$ $0 \leq \varphi < 2\pi,$ $z \in \mathbb{R}$

$r$: Abstand des Punkts von der z-Achse
$\varphi$: Winkel der Projektion in die x-y-Ebene zur positiven x-Achse
$z$: Höhe, wie in kartesischen Koordinaten
$x, y$: kartesische Koordinaten in der Grundebene
$dV$: Volumenelement für Dreifachintegrale

Zylinderkoordinaten beschreiben einen Punkt durch Abstand zur z-Achse, Winkel und Höhe; das Volumenelement ist r dr dφ dz.