Dreifachintegral

Studium

\iiint_Q f\, dV = \int_a^b \int_c^d \int_p^q f(x, y, z)\, dz\, dy\, dx

Voraussetzung: $Q = [a, b] \times [c, d] \times [p, q],$ $f$ $stetig auf$ $Q$

$Q$: Quader, über den integriert wird
$f(x, y, z)$: Integrand, z.B. eine Dichte
$dV$: Volumenelement, hier dV = dx dy dz
$a, b,\ c, d,\ p, q$: Grenzen in x-, y- und z-Richtung

Ein Dreifachintegral summiert eine Funktion über einen räumlichen Bereich, gerechnet als drei einfache Integrale nacheinander.

Erklärung

Das Dreifachintegral ist das räumliche Gegenstück zum Doppelintegral. Mit $f = 1$ liefert es das Volumen von $Q$ , mit einer Dichte $\rho(x, y, z)$ die Masse. Auch Schwerpunkte und Trägheitsmomente berechnet man so.

Nach dem Satz von Fubini integriert man nacheinander nach den drei Variablen. Auf einem Quader und bei stetigem $f$ ist die Reihenfolge beliebig.

Für allgemeinere Bereiche hängen die Grenzen von den äußeren Variablen ab, z.B.

\iiint_K f\, dV = \int_a^b \int_{g_1(x)}^{g_2(x)} \int_{h_1(x, y)}^{h_2(x, y)} f(x, y, z)\, dz\, dy\, dx

Für Zylinder, Kegel und Kugeln sind Zylinder- oder Kugelkoordinaten meist einfacher.

Beispiele

Der Einheitswürfel $[0, 1]^3$ hat die Dichte $\rho = x + y + z$ . Jeder der drei Summanden liefert $\int_0^1 x\, dx = \frac{1}{2}$ (die beiden anderen Richtungen tragen je den Faktor $1$ bei), also ist die Masse

\iiint_{[0,1]^3} (x + y + z)\, dV = 3 \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{2}

Das Volumen des Tetraeders $K$ mit $x, y, z \geq 0$ und $x + y + z \leq 1$ :

\int_0^1 \int_0^{1 - x} \int_0^{1 - x - y} 1\, dz\, dy\, dx = \int_0^1 \int_0^{1 - x} (1 - x - y)\, dy\, dx = \int_0^1 \frac{(1 - x)^2}{2}\, dx = \frac{1}{6}

Mit $\iiint_K x\, dV = \int_0^1 x \frac{(1 - x)^2}{2}\, dx = \frac{1}{24}$ liegt der Schwerpunkt bei $x_S = \frac{1/24}{1/6} = \frac{1}{4}$ , aus Symmetrie also bei $\left(\frac{1}{4}, \frac{1}{4}, \frac{1}{4}\right)$ .

Typische Fehler

Grenzen in der falschen Reihenfolge verschachteln. Das innerste Integral darf von allen äußeren Variablen abhängen, das äußerste nur feste Grenzen haben.
Bei einem Körper wie dem Tetraeder alle Grenzen von $0$ bis $1$ setzen. Damit berechnet man den ganzen Würfel.
In Zylinder- oder Kugelkoordinaten den Faktor $r$ bzw. $r^2 \sin\theta$ im Volumenelement vergessen.

Dreifachintegral