Partielle Ableitung

Studium

\frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h,\, y_0) - f(x_0, y_0)}{h}

Voraussetzung: $f\colon D \subseteq \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R},$ $(x_0, y_0)$ $innerer Punkt von$ $D,$ $der Grenzwert existiert$

$f$: Funktion der zwei Variablen x und y
$\frac{\partial f}{\partial x}$: partielle Ableitung von f nach x, auch f_x geschrieben
$(x_0, y_0)$: Stelle, an der abgeleitet wird
$h$: Schrittweite in x-Richtung, die gegen 0 geht

Die partielle Ableitung nach x ist die gewöhnliche Ableitung von f, wenn man alle anderen Variablen festhält.

Erklärung

Bei einer Funktion $f(x, y)$ mehrerer Variablen fragt die partielle Ableitung nach der Änderung in genau einer Koordinatenrichtung. Für $\frac{\partial f}{\partial x}$ hält man $y$ fest und leitet nach $x$ ab, wie bei einer Funktion einer Variablen. Entsprechend entsteht $\frac{\partial f}{\partial y}$ , wenn man $x$ festhält. Übliche Kurzschreibweisen sind $f_x$ , $\partial_x f$ oder $D_1 f$ .

Geometrisch ist $f_x(x_0, y_0)$ die Steigung der Schnittkurve des Graphen mit der Ebene $y = y_0$ .

Leitet man noch einmal ab, entstehen höhere partielle Ableitungen wie $f_{xx}$ , $f_{xy}$ und $f_{yy}$ . Nach dem Satz von Schwarz gilt $f_{xy} = f_{yx}$ , wenn die zweiten partiellen Ableitungen stetig sind. Für Funktionen von $n$ Variablen gilt alles entsprechend.

Beispiele

Für $f(x, y) = x^2 y + 3xy^3$ wird beim Ableiten nach $x$ der Faktor $y$ wie eine Konstante behandelt:

f_x = 2xy + 3y^3, \qquad f_y = x^2 + 9xy^2

An der Stelle $(1, 2)$ ist $f_x(1, 2) = 4 + 24 = 28$ und $f_y(1, 2) = 1 + 36 = 37$ . Die gemischten Ableitungen stimmen überein: $f_{xy} = f_{yx} = 2x + 9y^2$ .

Für $f(x, y) = \sin(xy)$ liefert die Kettenregel $f_x = y \cos(xy)$ . An der Stelle $(0, 2)$ ist $f_x(0, 2) = 2 \cos 0 = 2$ .

Typische Fehler

Die festgehaltene Variable mit ableiten. Bei $\frac{\partial}{\partial x}(x^2 y)$ bleibt $y$ als Faktor stehen: $2xy$ , nicht $2xy + x^2$ .
Einen Summanden, der nur von $y$ abhängt, beim Ableiten nach $x$ stehen lassen. Er fällt weg, z.B. $\frac{\partial}{\partial x}(x + y^3) = 1$ .
Aus der Existenz aller partiellen Ableitungen auf Stetigkeit schließen. Die Funktion $f(x, y) = \frac{xy}{x^2 + y^2}$ mit $f(0, 0) = 0$ hat im Ursprung beide partiellen Ableitungen, ist dort aber nicht stetig.

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