Laplace-Operator

Studium

\Delta f = \operatorname{div}(\nabla f) = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2}

Voraussetzung: $f\colon D \subseteq \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}$ $zweimal partiell differenzierbar$

$\Delta$: Laplace-Operator, auch als nabla² geschrieben
$f$: Skalarfeld, z.B. Temperatur oder Potential
$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}$: zweite partielle Ableitung nach x, entsprechend für y und z

Der Laplace-Operator summiert die reinen zweiten partiellen Ableitungen; er ist die Divergenz des Gradienten.

Erklärung

Der Laplace-Operator $\Delta$ ordnet einer Funktion die Summe ihrer reinen zweiten partiellen Ableitungen zu. Er ist die Spur der Hesse-Matrix und lässt sich als $\Delta = \nabla \cdot \nabla$ schreiben. In der Ebene entfällt der $z$ -Term.

Anschaulich vergleicht $\Delta f$ den Wert in einem Punkt mit dem Mittelwert in seiner Umgebung: Ist $\Delta f > 0$ , liegt $f$ im Punkt unter dem Durchschnitt seiner Nachbarn, bei $\Delta f < 0$ darüber.

Funktionen mit $\Delta f = 0$ heißen harmonisch; die Gleichung $\Delta f = 0$ ist die Laplace-Gleichung. Sie beschreibt stationäre Temperaturverteilungen und elektrostatische Potentiale im ladungsfreien Raum. Auf einem beschränkten Gebiet nimmt eine harmonische Funktion, die bis zum Rand stetig ist, Maximum und Minimum auf dem Rand an.

In ebenen Polarkoordinaten lautet der Operator

\Delta f = \frac{\partial^2 f}{\partial r^2} + \frac{1}{r} \frac{\partial f}{\partial r} + \frac{1}{r^2} \frac{\partial^2 f}{\partial \varphi^2}

Beispiele

Für $f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2$ ist $\Delta f = 2 + 2 + 2 = 6$ .

Die Funktion $f = \frac{1}{r}$ mit $r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ ist außerhalb des Ursprungs harmonisch. Im Punkt $(1, 2, 2)$ mit $r = 3$ ergibt sich $\Delta f = 0$ . Sie ist bis auf einen Faktor das Potential einer Punktladung.

In der Ebene sind $f = x^2 - y^2$ (mit $\Delta f = 2 + (-2) = 0$ ) und $f = e^x \sin y$ (mit $\Delta f = e^x \sin y - e^x \sin y = 0$ ) harmonisch.

Mit der Polarform: Für $f = r^2 = x^2 + y^2$ ist $\Delta f = 2 + \frac{1}{r} \cdot 2r + 0 = 4$ , wie in kartesischen Koordinaten.

Typische Fehler

Die gemischten Ableitungen mitnehmen. In $\Delta f$ stehen nur $f_{xx}$ , $f_{yy}$ und $f_{zz}$ .
$\Delta$ mit dem Differenzzeichen verwechseln, z.B. $\Delta x$ als Laplace von $x$ lesen. Aus dem Zusammenhang muss klar sein, was gemeint ist.
In Polarkoordinaten einfach $f_{rr} + f_{\varphi\varphi}$ rechnen. Der Term $\frac{1}{r} f_r$ und der Faktor $\frac{1}{r^2}$ fehlen dann.

Laplace-Operator