Satz von Gauß

Erklärung

Der Satz von Gauß (auch Divergenzsatz) verbindet ein Volumenintegral mit einem Oberflächenintegral. Rechts steht der Fluss von $\vec F$ durch die geschlossene Oberfläche: wie viel pro Zeit nach außen strömt, wenn $\vec F$ eine Strömung beschreibt. Links steht die Summe aller Quellen und Senken im Inneren. Anschaulich: Was netto herausfließt, muss im Inneren entstanden sein.

Genau gilt der Satz für einen beschränkten Bereich $V \subset \mathbb{R}^3$ mit stückweise glattem Rand $\partial V$, die äußere Einheitsnormale $\vec n$ und ein Feld $\vec F$, das auf einer Umgebung von $V$ stetig differenzierbar ist ($\vec F \in C^1$).

Der Satz wird in beide Richtungen genutzt:

• Ein schwieriges Oberflächenintegral (z.B. über die sechs Seiten eines Quaders) wird zu einem einfachen Volumenintegral.
• Aus lokalen Erhaltungsgesetzen (Masse, Ladung, Energie) wird eine globale Bilanz und umgekehrt.

Ist $\vec F$ quellenfrei, ist der Fluss durch jede geschlossene Fläche null. Die Normale muss nach außen zeigen, und die Fläche muss den Bereich vollständig umschließen. Die ebene Version ist der Satz von Green in Flussform: $\iint_D \operatorname{div} \vec F\, dA = \oint_{\partial D} \vec F \cdot \vec n\, ds$.

Beispiele

Für $\vec F = (x, y, z)^T$ und die Kugel mit Radius $R$ ist $\operatorname{div} \vec F = 3$, also

Zur Kontrolle direkt: Auf der Kugeloberfläche ist $\vec n = \frac{1}{R}(x, y, z)^T$ und $\vec F \cdot \vec n = \frac{x^2 + y^2 + z^2}{R} = R$. Der Fluss ist $R \cdot 4\pi R^2 = 4\pi R^3$. Für $R = 2$ ergibt das $32\pi \approx 100{,}53$.

Für $\vec F = (x^2,\ y^2,\ z^2)^T$ und den Einheitswürfel $[0, 1]^3$ ist $\operatorname{div} \vec F = 2(x + y + z)$ und

Direkt: Auf der Seite $x = 1$ ist $\vec n = (1, 0, 0)^T$ und $\vec F \cdot \vec n = 1$, der Fluss dort also $1$. Auf $x = 0$ ist $\vec F \cdot \vec n = -x^2 = 0$. Mit den anderen Richtungen ergibt sich zusammen $3 \cdot (1 - 0) = 3$.

Typische Fehler

• Die Normale nach innen richten. Dann ändert sich das Vorzeichen des Flusses.
• Den Satz auf eine offene Fläche anwenden, z.B. eine Halbkugel ohne Boden. Fehlende Teile der Oberfläche müssen ergänzt und ihr Fluss wieder abgezogen werden.
• Bei einer Singularität im Inneren rechnen, als wäre $\vec F$ überall glatt. Für $\vec F = \frac{\vec r}{|\vec r|^3}$ ist die Divergenz außerhalb des Ursprungs $0$, der Fluss durch jede Kugel um den Ursprung aber $4\pi$.