Richtungsableitung

Studium

\frac{\partial f}{\partial \vec{v}}(\vec{a}) = \nabla f(\vec{a}) \cdot \vec{v}

Voraussetzung: $f$ $in$ $\vec{a}$ $(total)$ $differenzierbar$ $,$ $|\vec{v}| = 1$

$\frac{\partial f}{\partial \vec{v}}(\vec{a})$: Ableitung von f im Punkt a in Richtung v, auch D_v f(a) geschrieben
$\nabla f(\vec{a})$: Gradient von f im Punkt a
$\vec{v}$: Richtung als Einheitsvektor
$\vec{a}$: Punkt, an dem abgeleitet wird

Die Richtungsableitung gibt die Steigung von f in Richtung eines Einheitsvektors an, berechnet als Gradient mal Richtung.

Erklärung

Die Richtungsableitung misst, wie schnell sich $f$ ändert, wenn man sich vom Punkt $\vec a$ aus in Richtung $\vec v$ bewegt. Formal ist sie der Grenzwert

\frac{\partial f}{\partial \vec{v}}(\vec{a}) = \lim_{h \to 0} \frac{f(\vec a + h \vec v) - f(\vec a)}{h}

Ist $f$ differenzierbar, lässt sie sich einfach als Skalarprodukt mit dem Gradienten berechnen. Die partiellen Ableitungen sind Sonderfälle mit den Einheitsvektoren der Koordinatenachsen als Richtung.

Aus $\nabla f \cdot \vec v = |\nabla f| \cos \alpha$ folgt: Die Richtungsableitung ist am größten in Richtung des Gradienten (Wert $|\nabla f|$ ), am kleinsten in der Gegenrichtung und null senkrecht dazu, also entlang der Höhenlinie.

Die Richtung muss ein Einheitsvektor sein. Ein beliebiger Vektor $\vec w \neq \vec 0$ wird vorher normiert: $\vec v = \frac{\vec w}{|\vec w|}$ .

Beispiele

Für $f(x, y) = x^2 + 3y^2$ ist $\nabla f(2, 1) = (4, 6)^T$ . Gesucht ist die Steigung in Richtung $\vec w = (3, 4)^T$ . Wegen $|\vec w| = 5$ ist $\vec v = (0{,}6;\ 0{,}8)^T$ :

\frac{\partial f}{\partial \vec{v}}(2, 1) = 4 \cdot 0{,}6 + 6 \cdot 0{,}8 = 2{,}4 + 4{,}8 = 7{,}2

Die größte mögliche Steigung in diesem Punkt ist $|\nabla f(2, 1)| = \sqrt{52} \approx 7{,}21$ . Die Richtung $(3, 4)$ liegt also fast in Richtung des steilsten Anstiegs.

Typische Fehler

Den Richtungsvektor nicht normieren. Mit $(3, 4)$ statt $(0{,}6;\ 0{,}8)$ erhält man $36$ , also das Fünffache des richtigen Werts $7{,}2$ .
Die Formel $\nabla f \cdot \vec v$ verwenden, obwohl $f$ nicht differenzierbar ist. Ein Gegenbeispiel ist $f(x, y) = \frac{x^2 y}{x^2 + y^2}$ mit $f(0, 0) = 0$ : Im Ursprung ist $\nabla f = \vec 0$ , die Formel liefert also überall $0$ . Die Richtungsableitung zu $\vec v = \frac{1}{\sqrt 2}(1, 1)^T$ ist aber $\frac{1}{2\sqrt 2} \neq 0$ , denn $f(h \vec v) = \frac{h}{2\sqrt 2}$ für $h > 0$ .
Gradient und Richtung vertauschen oder komponentenweise multiplizieren statt das Skalarprodukt zu bilden. Das Ergebnis ist eine Zahl, kein Vektor.

Richtungsableitung