Formelfritz
Meine Listen

Jacobi-Matrix

Jacobi-Matrix

Studium
Jf(x⃗)=(∂f1∂x1⋯∂f1∂xn⋮⋱⋮∂fm∂x1⋯∂fm∂xn)J_f(\vec{x}) = \begin{pmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial f_m}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial f_m}{\partial x_n} \end{pmatrix}

Voraussetzung: f=(f1,…,fm)T ⁣:D⊆Rn→Rm,f = (f_1, \ldots, f_m)^{T}\colon D \subseteq \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m, alle fif_i partiell differenzierbar

Jf(x⃗)J_f(\vec{x})
Jacobi-Matrix von f an der Stelle x, eine m×n-Matrix
f1,…,fmf_1, \ldots, f_m
Komponentenfunktionen von f
x1,…,xnx_1, \ldots, x_n
Variablen
∂fi∂xj\frac{\partial f_i}{\partial x_j}
partielle Ableitung der i-ten Komponente nach der j-ten Variablen

Die Jacobi-Matrix enthält alle ersten partiellen Ableitungen einer vektorwertigen Funktion, Zeile für Zeile pro Komponente.

Erklärung

Eine Funktion f ⁣:Rn→Rmf\colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m hat mm Komponenten, die jeweils von nn Variablen abhängen. Die Jacobi-Matrix (auch Funktionalmatrix) ordnet alle ersten partiellen Ableitungen in einer m×nm \times n-Matrix an: Zeile ii ist der transponierte Gradient der Komponente fif_i, Spalte jj enthält die Ableitungen nach xjx_j.

Ist ff differenzierbar, ist JfJ_f die beste lineare Näherung von ff:

f(a⃗+h⃗)≈f(a⃗)+Jf(a⃗) h⃗f(\vec a + \vec h) \approx f(\vec a) + J_f(\vec a)\, \vec h

Für m=1m = 1 ist JfJ_f der transponierte Gradient, für n=m=1n = m = 1 die gewöhnliche Ableitung. Ist m=nm = n, heißt det⁡Jf\det J_f Jacobi-Determinante oder Funktionaldeterminante. Sie gibt an, wie stark ff Flächen bzw. Volumina lokal streckt, und erscheint deshalb im Transformationssatz.

Beispiele

Für f(x,y)=(x2y, x+y3, xy)Tf(x, y) = (x^2 y,\ x + y^3,\ xy)^T ist m=3m = 3 und n=2n = 2:

Jf(x,y)=(2xyx213y2yx),Jf(1,2)=(4111221)J_f(x, y) = \begin{pmatrix} 2xy & x^2 \\ 1 & 3y^2 \\ y & x \end{pmatrix}, \qquad J_f(1, 2) = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 1 & 12 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}

Für die erste Komponente liefert die Linearisierung an der Stelle (1,1; 2,1)(1{,}1;\ 2{,}1) den Wert 2+4⋅0,1+1⋅0,1=2,52 + 4 \cdot 0{,}1 + 1 \cdot 0{,}1 = 2{,}5. Exakt ist 1,12⋅2,1=2,5411{,}1^2 \cdot 2{,}1 = 2{,}541.

Die Polarkoordinaten-Abbildung (r,φ)↦(rcos⁡φ, rsin⁡φ)(r, \varphi) \mapsto (r \cos \varphi,\ r \sin \varphi) hat

J=(cos⁡φ−rsin⁡φsin⁡φrcos⁡φ),det⁡J=rcos⁡2φ+rsin⁡2φ=rJ = \begin{pmatrix} \cos\varphi & -r \sin\varphi \\ \sin\varphi & r \cos\varphi \end{pmatrix}, \qquad \det J = r \cos^2\varphi + r \sin^2\varphi = r

Typische Fehler

  • Zeilen und Spalten vertauschen. Die Zeilen gehören zu den Komponenten fif_i, die Spalten zu den Variablen xjx_j; das Format ist m×nm \times n.
  • Jacobi-Matrix und Hesse-Matrix verwechseln. Die Hesse-Matrix einer reellwertigen Funktion ist die Jacobi-Matrix ihres Gradienten.
  • Von der Jacobi-Determinante sprechen, obwohl die Matrix nicht quadratisch ist.

Verwandte Formeln